3.1.3 空间向量的数量积运算教案和学案内容

3.1.3空间向量的数量积运算

教学目标

1、知识与技能：在充分了解平面向量的概念、运算及空间向量的概念、运算和基本定理的基础上,进一步类比探究并获得空间向量的数量积的定义、性质并掌握空间向量数量积的基本应用. 2、过程与方法：亲身体验数学发现和创造的历程. 3、情感态度与价值观：领略数学严谨、系统、基础、实用的魅力. 重点：空间向量的数量积的概念及其应用. 难点：应用空间向量的数量积解决立体几何问题. 教法：探究，归纳.

教具：三角板，多媒体辅助. 课型：新授课.

教师活动

学 案

（含学法指导）

预设

一.复习：空间向量基本定理及其推论；

大屏幕投影，提问学生

二. 回顾旧知、引入新课

1.平面向量的数量积定义:

ab|a||b|cos（0）

2.平面向量的夹角:将a与b平移至同起点

处

三. 类比探究、获取新知

（1）空间向量的夹角：对于非零向量a，让各小组将类b，在空间任取一点O作OAa，OB

b，比的结论展示出来，其他各小必要时a则∠AOB叫做与b的夹角，记作 组补充，老师进行补充. a,b规定0a,b

.

（2）空间向量数量积的定义：



ab|a||b|cosa,b



0向量与任何向量的数量积为0

四.探究归纳数量积运算的性质

思考一：

 (1)如果a,b0,则a与b

学生活动

预设

设计意图

回答老师提出的问题

积极讨论，将类比的结论展示出来.

让学生充分回忆有关向量的问题

让学生自己发现知识的生成.

(3)如果a,b,则称a与b

2

(4)ae

(5)ab

2

(6)a



(7)cosa,b思考一和思考

二在操作过程其中（4）--（7）为性质

中让小组成员思考二：判断下列命题是否正确：

回答并讲解. 

(1)若abac,则bc

(2)(a)b(ab)

(3)abba

(4)a(bc)abac

(5（)ab)ca(bc)

（2）---（4）归纳为运算律

五.典例精析

在学生讲解的a,b例１.已知是空间两个单位向量，它们基础上，强调定的夹角为600,设向量

义和公式的应

a用. 2mn,b3m2n

(1)求a

b



(2)求向量a与b的夹角

例2.在平面内的一条直线如果和这个平面

的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条

斜线垂直.

先让学生进行

讲解，后对此问

(2)如果a,b,则a与b

积极思考，利用已有的知识对问题进行大胆猜想，并将自己的想法展示出来.

讲解问题，讨论讲解过程中出现的问题.

积极思考，充分展示自

让学生通过自己的猜想和思考将这些问题内华为自己的知识.

要求学生对基础的问题要重点掌握.

让学生体会用向量解决立体几何中的一些简单问题的基本思考方法.

用向量解几何题的一般

题将性分析和例3．．已知空间四边形ABCD中，说明，归纳出解决此类问题的ABCD，ACBD，求证：ADBC．

一般思路和方

法.

例4:正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、H分多媒体展示出别是A1B1、BB1、CD的中点，O为底面ABCD具体的解题过的中心，求异面直线C1H与NO所成角的余程，并引领学生弦值。

分析，归纳求异

面直线所成角的向量方法.

D1

C1

己的思考成果.

认真思考，积极讨论，将问题在课堂上解决.

方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

初步让学生认识立体几何中的向量方法.

M

B1

N

D

O

A

H

B

C

当堂达标测试：

1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，

AD＝2，AA1＝3．则BDAC1( ) A．1 B．3 C．0 D．－3 2．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC0,ACAD0,ABAD0，则△BCD是( ) A．钝角三角形

C．直角三角形

3．已知B．锐角三角形

D．不确定

2,ab22，|a|22,|b|则a与b的夹角为______．

4．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角是60°，则对角线AC1的长是______．

5. 如图:已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E、F分别是AB、AD的中点. A E B C 计算（）1EFBD(2)CFBD

6. 平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=5，∠BAD=90º

，

∠BAA1=∠DAA1=60º

，求AC1的长。 F D A1

5 B1

3 D B C

A 3 课后练习精编 1．设a，b，c是任意的非零向量，且它们互相不共线，则下列命题：

①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；

②|a|－|b|<|a－b|；

③(a·b)·c－(c·a)·b不与c垂直；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的有(

)

A．①②

B．②③

C．③④ D．②④

2．若向量a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且b·c＝0是l⊥α的(

) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

→＝a，AD→＝b，AA→＝c，则a·(b＋c)的值3.在棱长为1的正方体ABCD­ABCD中，设AB11111为(

)

A．1 B．0 C．－1 D．－2 4．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(

) A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

→＝0，5．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足→AB·→AC＝0，→AC·→AD＝0，→AB·AD则△BCD是(

) A．钝角三角形 B．锐角三角形

C．直角三角形 D．不确定

6．已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．

7．已知|a|＝32，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________. 8．已知正四面体OABC的棱长为1.求：

→·→(1)OAOB；

→＋→→＋→(2)(OAOB)·(CACB)；

→＋→(3)|OAOB＋→OC|. →→9．如图，已知E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量A1C1与DE所成角的余弦值．

教学反思：本节课的教学目的掌握空间向量的定义极其简单应用，体会向量在研究几何问题中的作用。学生对数量积的概念基本遗忘，直接引入空间向量的数量积，通过对空间向量夹角、数量积、投影、运算律的讲解，巩固回忆复***面向量。边讲授新的概念，边用练习题进行辨析、巩固，提高了学生的分析问题，辨析问题能力，对运算律的图形解释。新课程要求学生主动去探索，发现，作为教师可以引导学生去探究，提出问题进而让学生进行探索。