1.4.2 存在量词第二课时教学实录

1.4.2 存在量词

一、学习目标

1、通过生活和数学中的丰富实例理解存在量词的含义，熟悉常见的存在量词．

2、了解含有存在量词的特称命题的含义，并能用数学符号表示含有存在量词的命题及

判断其命题的真假性．

3、了解含有一个存在量词命题的否定及其写法. 二、主线问题

问题：

下列语句是命题吗？它们有什么共同点？

（1）存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人．

（2）存在一个(个别、某些)实数x(如x＝2)，使x≤3(或至少有一个x∈R, x≤3)

解：这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，在逻辑中，表示整体的一部分的词通常叫做存在量词，用符号“”表示．存在量词相当于日常语言中“存在一个”“有一个”“有些”“至少有一个”“至多有一个”等．

特称命题

含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）

通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示.

特称命题：“存在M中一个x0，使p（x）成立”可以用符号简记为：xM,p(x).读做“存在一个x0属于M,使p（x0）成立”．

要判定存在性命题

“ x∈M,

p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使

p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则存在性命题是假命题

注：存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。

三、例题预热

知识点一

全称命题与特称命题的判断

例1、判断下列语句哪个是特称命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；

(4)有些素数的和仍是素数；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

分析

先看是否有存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断．

解

(1)不是．

(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．

(3)不是

(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．

(5)不是．

练习：判断下列语句哪个是特称命题，如果是，用量词符号表达出来。

（1）中国的所有江河都注入太平洋；

（2）0不能作除数；

（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；

（4）每一个向量都有方向；

分析：（1）不是；

（2）存在性命题，0∈R，0不能作除数；

（3）不是；

（4）不是；

知识点二

判断全称或特称命题的真假

例2、试判断以下命题的真假：

(1)∃x∈Z，x3<1

(2)∃x∈Q，x2＝3. 分析

要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．

解：(1)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1.所以命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题．

(2)由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3. 所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．

练习2：

判断下列命题的真假：

22(1)实数a2且b1使ab4a2b5；

(2)存在实数x使函数f(x)x224(x0)取得最小值4. x22解：(1)是假命题，因为ab4a2b5(a2)(b1)0，当且仅当a2,b1时22等号成立，

所以不存在实数对a,b，使(a2)(b1)0，不存在，即实数a2且b122使ab4a2b5. (2)是真命题，因为存在实数x20，使函数f(x)x四、目标检测

4(x0)取得最小值4. x

1．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题．

(1)________x∈R，使x2＋2x＋1≥0；

(2)________α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cosβ；

ax＋by＝1(3)________a，b∈R，使方程组2，有唯一解．

ax＝2

答案

(1)∀

(2)∃

(3)∃

2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（

A

）

22x,yRxy2xy

A．，都有22x,yRxy2xy

B．，都有C．x0,y0，都有xy2xy

22x0,y0xy2xy

D．，都有223．判断下列命题的真假，其中为真命题的是(

D ) A．xR,x210

B．xR,x210

C．xR,sinxtanx

D．xR,sinxtanx

4．对于下列语句

（1）xZ,x23

（2）xR,x22

（3）xR,x22x30

（4）xR,x2x50

其中正确的命题序号是

（2）（3）

。（全部填上）

25．下列命题不是“∃x0∈R，x0>3”的表述方法的是(

C

) 2A．有一个x0∈R，使x0>3

B．有些x0∈R，使x20>3

C．任选一个x∈R，使x2>3 2D．至少有一个x0∈R，使x0>3 解析

“任选一个x∈R，使x2>3”是全称命题，不能用符号“∃”表示，故选C. 6．下列命题是真命题的是(

B

) A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0

B．∃x0∈R，－x0＋1≥0

C．∀x∈N*，log2x>0 D．∃x0∈R，cosx0<2x0－x20－3 解析

当x0＝－1时，－x0＋1＝0，所以命题“∃x0∈R，－x0＋1≥0”正确，故选B. 7．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，则命题“p且

q”是真命题的充要条件(

A

) A．a≤－2或a＝1

B．a≤－2或1≤a≤2

C．a≥1

D．－2≤a≤1

解析

p真即a≤x2在1≤x≤2范围内恒成立，因x2∈[1,4]，所以a≤1；

q真等价于Δ＝4a2－4(2－a)≥0恒成立．即a2＋a－2≥0.所以a≥1或a≤－2. 要使p且q为真则a的取值范围为：a＝1或a≤－2，故选A. 五、小结与反思

1．全称命题与特称命题的表述

同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结如下．在实际应用中可以灵活地选择. 命

题

全称命题“∀x∈A，p(x)”

①所有的x∈A，p(x)成立

②对一切x∈A，p(x)成立

表述方法

③对每一个x∈A，p(x)成立

④任选一个x∈A，使p(x)成立

⑤凡x∈A，都有p(x)成立

2.判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．

3．全(特)称命题真假的判断

(1)全称命题是真命题，必须确定对集合M中的每一个元素都成立，若是假命题，举一个反例即可．

(2)特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少找到一个元素使得命题成立，若是假命题，则对集合M中的每一个元素都不成立．

特称命题“∃x0∈A，p(x0)”

①存在x0∈A，使p(x0)成立

②至少有一个x0∈A，使p(x0)成立

③对有些x0∈A，使p(x0)成立

④对某个x0∈A，使p(x0)成立

⑤有一个x0∈A，使p(x0)成立