小结第二课时 公开课

解析几何最值、范围问题探究

授课人：刘婷

一、解读《说明》、把握规律

解析几何是高考必考知识板块，从湖南省近几年试题情况来看，13、12年试题都是圆与抛物线结合，11年试题是椭圆与抛物线结合，10年试题是新名词“果圆”，实为抛物线与椭圆的结合图形。近几年的试题都有一个共同特征，包含两种圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线中的两种），求曲线方程（或轨迹方程），定值、最值、范围等问题轮流坐庄，值得注意的是在解析几何大题中几乎不见双曲线身影；2014年试题估计会秉承这一思想，在客观题中考查双曲线及基础知识，在大题中以两种圆锥曲线为载体，在知识点的交汇处设计高考综合能力试题，全面考查解析几何知识。

二、知识整合

高考中解析几何试题一般共有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计28分左右，考查的知识点约为20个左右。

其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。

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三、考点突破

圆锥曲线中的最值、范围问题：以直线与圆锥曲线为载体，常考查特定量、待定式子的最值或利用直线与圆锥曲线位置关系求参数范围，常与函数、导数、不等式交汇求最值，是近几年高考热点．

四、突破方法

圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题，解决此类问题，一般有两个思路：

(1)由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；

(2)将要讨论的几何量如长度、面积、代数式等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用平面向量、不等式、三角函数等知识求最值．

五、自主练习

x2y2

1.已知椭圆＋2＝1(0＜b＜2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则4b△ABF面积的最大值为(

) A．1

B．2

C．4

D．8

2.(2013·安徽高考)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．

反思：

教育是使人幸福的事！

六、例题分析及训练

例1（2013·湖南）过抛物线E:x22py(p0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同的直线l1,l2，且k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D.以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l.

（I）若k10,k20，证明：FMFN2P2；

（II）若点M到直线l的距离的最小值为

反思：

75，求抛物线E的方程. 5x2y21 例2 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1，0)，且离心率为. ab2(1)求椭圆C的方程；

(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点

P(0，y0)，求y0的取值范围．

反思：

教育是使人幸福的事！

规律方法总结

一、圆锥曲线范围与最值问题，要根据题意画出图形，通过代数运算细化图形结构，重视数形结合的数学思想的运用，求解的常用方法有两种：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或利用基本不等式求最值．

二、注意强化思维的严谨性，力求规范解题，尽可能少丢分

在解解析几何的大题时，有不少学生常出现因解题不够规范而丢分的现象，因此，在平时的练习中对易出现错误的相关步骤要引起足够重视，尤其是加强推理、运算变形能力的训练，减少或避免无谓的丢分．

→拓展训练 已知点M是圆C：x2＋y2＝2上的一点，且MH⊥x轴，H为垂足，点N满足NH→2＝MH，记动点N的轨迹为曲线E. 2(1)求曲线E的方程；

(2)若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

反思：

教育是使人幸福的事！

课后练习

1.若抛物线y2＝2px上恒有关于直线x＋y－1＝0对称的两点A、B，则p的取值范围是

(

) 23A．(－，0)

B．(0，) 3222C．(0，)

D．(－∞，0)∪(，＋∞) 33

y2→→2.已知双曲线x－3＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为________．

2

x2y233.(2013·山东改编）椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，ab2过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

能力提升题

(2013·广东)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离32为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

2（I）求抛物线C的方程；

（II）当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

(Ⅲ)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．

思路点拨：(1)由点到直线的距离求c的值，得到F(0，c)后可得抛物线的方程；(2)采用“设而不求”策略，先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合导数求切线PA，PB的方程，代入点P的坐标，根据结构，可得直线AB的方程；(3)将|AF|·|BF|转化为关于x0(或y0)的函数，再求最值．

归纳总结：

教育是使人幸福的事！