2.2.1 椭圆的标准方程ppt配用优秀获奖教案

2.2.1椭圆及其标准方程教学设计

【教材、课标解读】

一、教学内容

椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程。本节教材主要内容是使学生了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用;使学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c的代数意义、标准方程及其轨迹.本节对椭圆定义与轨迹的研究，和圆的定义与轨迹相呼应，学生学习了圆的定义之后，已初步具备了探讨椭圆定义的本质这个问题的能力，通过探究，使学生从感性认识逐步上升到理性认识，形成对椭圆这一概念本质的理解，从而进一步让学生体验“用方程研究曲线”这一基本思想，体现了数学的和谐之美，符合认知的渐进原则. 二、教材地位和作用

圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究作为了重点，它为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的。

【学情分析】

1、能力分析

①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程；

②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。

2、认知分析

①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤；

②学生已经掌握直线和圆的方程及曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解；

③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。

3、情感分析

学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。

【教学目标】

1、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，理解坐标法的基本思想。

2、能力目标：让学生通过探究、动手操作提高学生动手能力、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。

3、情感目标：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数学美，激发学生学习数学的兴趣，培养学生探索、创新的精神。

【课时分解目标】

1、掌握椭圆的定义及标准方程的推导； 2、能够根据条件求椭圆的标准方程；

【教学重点难点】

教学重点：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想。

教学难点：椭圆标准方程的推导，坐标法的应用。

【评价设计】

表现性评价：学生的学习热情与课堂参与程度（对表情、态度、气氛等及时评价）；

交流式评价：合作讨论，归纳总结能力（对问答、质疑、纠错、改错等及时评价）；

呈现性评价：学生回答问题的正确率，板书的规范和正切率（对投影、展示、板演适时评价）. 【教学过程设计】

一、课前预习、生成问题

为了使得课堂教学更有针对性，更有效率，在课前我给出预习提纲。让学生通过自主学习完成预习提纲中的问题，对知识形成初步认识。老师应结合教学的重难点,以及学生预习时可能产生的问题来设计课堂。

【预习提纲】

请阅读教材38-40页思考下列问题：

1.初中所学的圆是如何定义的？

2.教材38页是如何画出椭圆的？

3.教材是如何定义椭圆的？

4.如何建立平面直角坐标系，得到椭圆的标准方程？

【设计意图】预习是为了使学生通过自主学习形成知识的初步印象，预习中产生的问题能激发学生的求知欲.提纲中设置的问题体现了新旧知识的联系，使学生明确应有的知识储备.还体现了由特殊到一般的思维发展过程，引领学生思考这之间的区别和联系.同时培养了学生自主学习的能力. 【学生生成问题】

学生生成问题1、

学生生成问题2、

【设计意图】这些问题来源于学生，可以激起学生的求知欲，同时也指明了本堂课的学习目标，让学习更具针对性.

二、创境设问、引入课题

1、视频展示：1、动画演示，天体运动轨道是椭圆

2、图片展示：生活中的椭圆（直观认识）。

展示视频、图片资料，使学生了解数学来源于实际，对椭圆形状有初步地了解。

生活中的玻璃餐桌

问题1、请同学们举例说明生活中在哪些地方存在椭圆形状？

【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率

三、观察分析、探索新知

问题2：在高一我们已经学过圆的定义和方程及圆的轨迹，那么，我们看到的椭圆是不是由圆压扁得到的呢?它和圆有没有关系? [教师]：为了解决这两个问题,先根据教材给出一种画法画椭圆：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。(找2个学生上讲台按这个方法画出一个椭圆，其他学生认真观察图象的变化。）

【设计意图】不仅回顾了圆的相关内容，体验了椭圆的画法，而且为归纳出椭圆的定义打下基础。

问题3：从画法中找出要满足什么样的条件才可以画出一个椭圆呢?那又该如何定义椭圆呢？

椭圆的定义：平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。

【设计意图】类比圆的定义，归纳出椭圆的定义。培养和训练学生类比，总结归纳的能力。

问题4：定义中为什么要限制到两个定点的距离的和大于|F1F2 |？如果小于|F1F2 |或等于|F1F2 |会出现什么情况？

【设计意图】加深对椭圆定义的理解。当等于|F1F2

|时，动点的轨迹是线段。当小于|F1F2

|时，动点没有任何图形出现。只有大于|F1F2 |时，动点的轨迹才是椭圆。

[教师]:接下来你们试试推导椭圆的方程.(简单回顾求圆的方程的方法和步骤)

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;

(2)写出适合条件

P(M);

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程; (4)化方程为最简形式. 问题5：第一步，该如何建立坐标系呢？

方案一：以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。

设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c，那么焦点F1、F2的坐标分别为（－c,0)，(c,0)。又设M与F1、F2的距离和为2a，

则由椭圆的定义，得：|MF1||MF2|2a

2222即：(xc)y(xc)y2a

y

M

F1

O

F2

(xc)2y22a(xc)2y2

222两边平方得：acxa(xc)y

再两边平方得：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

x

x2y21……①

两边同除以a(ac)，得：22aac2222由定义可知，2a>2c，所以ac0，令ba2c2，那么①式就是

22x2y21(ab0)……②

a2b2这说明椭圆上点的坐标满足以上方程②，以方程②的解(x,y)为坐标的点到两焦点的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上。由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程。

问题6：方案二是以两定点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，

建立直角坐标系，那么像方案二建立坐标系的话,椭圆的方程该怎样写呢?

y

F2

x2y2（只需要将x，y互换就可以了,应写成221(ab0)，

ab同样有bac）

问题7：同学们认真观察两个椭圆的标准方程，请说出椭圆的标准方程的特点。

222P

x

O

F1

（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1. （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足abc。

（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。反之求出a.b.c的值可写出椭圆的标准方程。

（4）椭圆的标准方程中，x与y2的分母哪一个大，则焦点就在哪一个轴上。并且哪个大哪个就是a。

【设计意图】加强学生对椭圆的认识和标准方程形式的理解，培养学生观察，归纳总结的能力。

22222四、知识迁移，延伸应用

（一）辩识椭圆的标准方程: 例1.（1）口答：

x2y2（1）221，则a

，b

。

53x2y2（2）221，则a

，b

。

46x2y21，则a

，b

。

（3）96x2y21，则a

，b

。

（4）74（2）

下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？并指明a2,b2，写出焦点坐标。

x2y21；（2）9x225y22250；（3）3x22y21；

（1）1616x2y2x2y2x2y21；（5）1；（6）1. （4）22mm1251624k16kx2y21表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是

. 变式1.已知方程4mx2y21表示焦点在y轴上的椭圆，变式2：已知方程则m的取值范围是

. m13m【设计意图】通过例1和变式1和变式—，让学生能分辩和识别椭圆的标准方程。

（二）求椭圆的标准方程：

例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点分别是F1 (-2，0)，F2 (2，0)，且过点P(3,26)

变式：求适合下列条件的椭圆标准方程：

(1).a＝4，b＝3，焦点在x轴上；

(2).b=1，c15，焦点在y轴上；

(3).若椭圆满足: a＝5 , c＝3。

【设计意图】通过例2和变式，巩固学生对椭圆定义的理解，并能利用定义求椭圆的标准方程。

五、提炼总结、分享收获

本节课我们收获了什么？

一种方法：求椭圆标准方程的方法

x2y2x2y2二类方程:221，221(ab0)

abba三个意识：求美意识，

求简意识，前瞻意识

标准方程

x2y2+2=1 a>b>02ab

x2y2+2=1 a>b>02ba

不同点图

形

相同点让学生总结出在知识、数学思想等方面的收获：

【设计意图】摆脱传统教学中教师小结的做法，让学生自己总结，加深对本节课

六、布置作业：

必做题：教材P49 习题2.2 第1、2题

选作题：教材P49 习题2.2 第4题

思考题：

你能发现圆与椭圆的关系吗？

【设计意图】巩固定义，检测达成目标情况

【板书设计】

椭圆及其标准方程

一、椭圆的定义

规范例题解答

焦点坐标

定

义

a、b、c 的关系

焦点位置的判断

二、椭圆标准方程的推导

三、椭圆标准方程的简单应用

例1: 变式：

例2：

变式：

七、教学反思

在教学设计中，应注意充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构(为了突破本节课的难点——椭圆概念的形成，在教学设计中，注重设计三个活动:第一个活动让学生感受亲手画出椭圆的过程，并培养学习的信心;第二个活动中将圆与椭圆两种曲线进行比较，为学生的自主探究活动提供了实物载体，并能体会成功带来的喜悦;第三个活动中，计算机为教师进行教学演示和学生的观察提供了平台，三个活动有机结合，协调发挥作用，不仅使学生加深了对椭圆概念的理解，而且使课堂更加紧凑有序(为了突出本节课的重点，将圆与椭圆两种曲线进行比较，使学生通过变换坐标系的建立，逐步理解和掌握建系求曲线方程的步骤，强化学生求曲线方程的基本功(总之，在“以学生发展为核心”的理念和我校的教学模式下，在每个阶段的教学中都要必须精心设计问题情境，为学生自主探究和发现创造条件，为培养学生的实践能力和创新能力，构建一个探索性的学习空间。