3.1.1 空间向量及其线性运算含PPT的教学设计及点评

3.1.1

空间向量及其线性运算

教学目标：

1．运用类比的方法，经历向量及其线性运算由平面向空间推广的过程；

2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；

3．理解空间向量共线（平行）的充要条件及共线向量定理．

教学重点：

空间向量的线性运算及其性质．

教学难点：

空间向量及其线性运算法则的运算．

教学方法：

新授课、启发式——引导发现、合作探究．

教学过程：

一、问题情境

我们已经学过平面向量的运算及其性质，知道：

在平面内既有大小又有方向的量叫平面向量．

那么我们进行推广：

在空间，既有大小又有方向的量叫空间向量．

如位移、力、速度、加速度等．

平面向量是特殊的空间向量．

那么，类比平面向量，空间向量如何进行运算？

它们具有什么性质？

平面向量所具有性质在空间向量中也成立吗？

二、建构数学

1．空间向量的基本概念（平面向量与空间向量性质比较）．

阅读教材P81-82填写下表：

平面向量

1 空间向量

定义

表示法

具有大小和方向的量

几何表示法



字母表示法

a、AB

具有大小和方向的量

几何表示法



字母表示法 a、AB

向量的大小a、AB

长度相等且方向相同的向量

长度相等且方向相反的向量

模为1的向量

长度为零的向量

向量的模

相等向量

相反向量

单位向量

零向量

向量的大小a、AB

长度相等且方向相同的向量

长度相等且方向相反的向量

模为1的向量

长度为零的向量

2．空间向量的运算．

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

（如图

） OB＝OA＋AB＝a＋b

BA＝OA－OB＝a－b

OP＝a(∈R)

运算律：

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

数乘分配律：(a＋b)＝a＋b

D'A'B'C'aDCBA

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三、探索新知

1．平行六面体：

平行四边形ABCD平移向量a到ABCD的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－ABCD，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．

2．共线向量．

与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．

当我们说向量a，b共线（或a//b）时，表示a，b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

3．共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a，b（a≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使b＝λa．

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式OP＝OA＋ta．其中向量a叫做直线l的方向向量．

P

B

l

a

A

O

四、数学运用

1．例题．

例1

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

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（1）CB＋BA1； 1 （2）AC＋CB＋AA1； 2 （3）AA－AC－CB． 1

例2

如图，在长方体OADBCA1D1B1中，OA＝3，OB＝4，OC＝2，OI＝OJ＝OK＝1，点E，F分别是DB，D1B1的中点．设OI＝i，OJ＝j，OK＝k，试用向量i，j，k表示OE和OF．

思路点拨：高中阶段学习的向量是：“自由向量”，所以任意两个空间向量都可以“平移”到同一平面内，这样，凡涉及两个空间向量的运算和位置关系问题，都可以转化为平面向量来解决．因此空间向量的线性运算及其性质与平面向量是完全一样的．空间向量共线的充要条件与平面向量共线的充要条件是一致的．

练习：

（1）作业：课后练习1，2．

（2）正方体AC1中，点E，F分别为棱BC和A1D1的中点，求证：四边形DEB1F为平行四边形．

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（3）已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：

（1）AB＋BC＋CD； （2）AB＋(BD＋BC)； 121AG－(AB＋AC)．

（3）2A B M C 五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容：

1．空间向量的定义与运算法则；

2．空间向量的一维共线问题；

G D

3．空间向量要注重数形结合，注重培养我们的空间想象能力．

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