1.2.1 充要条件板书设计

学习目标] 1．理解充要条件的意义．

2．会判断、证明充要条件．

3．通过学习，使学生明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假．

知识链接]

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数．

请判断：

p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

答：p是q的充分条件，p是q的必要条件．

预习导引]

充要条件

要点一

充要条件的判断

例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

(2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；

(3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；

(4)p：x＞5，q：x＞10 (5)p：a＞b，q：a2＞b2

分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p.

A．ab＝0 C．a2＋b2＝0 B．ab>0 D．a2＋b2>0 (2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________．

答案

(1)D (2)a<－1 解析

(1)a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0. (2)函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．

要点二

充要条件的证明

例2 求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2. 2

设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2. 则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0. 又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，

∴x1－1>0，x2－1>0.∴x1>1，x2>1. 综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2. 规律方法

一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. 跟踪演练2 求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

解

(1)当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；

(2)当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；

若方程有两个负的实根，

>0，a则必须满足1－<0，aΔ＝1－4a≥01

1⇒0

41因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤.

4

1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．

2．充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．

一、基础达标

1．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

12．设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的(

) 2A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A 11解析

因为{x|2x2＋x－1＞0}＝{x|x＞或x＜－1}，所以{x|x＞}22－1＞0}，故选A. 3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件．

答案

充要

解析

A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，

{x|2x2＋xC＝{x∈R|x<0，或x>2}，

∵A∪B＝C，

∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．

4．求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件．

二、能力提升

5．已知M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．

答案

必要不充分

解析

0＜x≤3D0＜x≤2

如x＝3∈M，但3∉N. 但0＜x≤2⇒0＜x≤3.

6．关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________．

答案

a＜0 解析

由题意知|2x－3|＞a恒成立．

∵|2x－3|≥0，

∴a＜0. 7．已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．

解

Δ≥0设方程x－mx＋2m－3＝0的两根分别为x，x，由题意知x>1x>12121211

Δ≥0⇔x－1x－1Δ≥0112＋x2－1>0x2－1>0x＋x>2xx－x＋x212＋1>0

⇔

⇔m>22m－3－m＋1>0m2－42m－3≥0

⇔m≥6.

即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6.

8．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明

充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根) ∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，

则x1x2＝<0，∴方程的两根异号．

即方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0) ∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，

则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0，

综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 三、探究与创新

9．设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.

2caca

当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，

|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．

总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．

必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，

得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，

即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，

∴|xy|＝xy，∴xy≥0.

综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．