小结教学创新设计

立体几何中求空间角（向量方法）

高三数学

何水军

一、教学目标：

1.

学会建立空间直角坐标系以及求点的坐标，特别地棱上一点坐标的计算；

2.

会用向量方法求面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角. 二、求空间角的方法. （一）

空间角的向量求法. 1．两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝直线a，b所成的角)．

2．直线和平面所成角的求法. 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n·e|. |n||e||a·b|

(其中φ为异面|a||b|

3．求二面角的大小

如下图，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉.

（二）

用向量方法的基本步骤：

1.

建立直角坐标系

（1）利用线面垂直；（2利用面面垂直；（3）利用菱形的对角线来建系；（4）强制建系；

2.

求点的坐标：

（1）

沿坐标轴找（作）垂直，解直角三角形；（2）棱上一点，利用向量平行，引进；

3.

计算法向量

；

4. 利用向量公式来计算.

三、题组训练

例1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB,∠BAD＝60°.（1）求PB与AC所成角的余弦值；

（2）求直线PB与平面PDC的所成角的正弦值；

（3）求二面角A-PD-C的余弦值.

例2（例1变式）

如图四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形,PA平面ABCD，ABC600, E,F分别是BC，PC的中点.(1)证明:AEPD（不做）；

（只做）(2)设AB2，若H为PD上的中点，直线EH与平面PAD所成角的正弦值为求二面角E-AF-C的余弦值.

15，

5P F A D B E C

例3. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA. 1，BAA1=60°（不做）（1）证明AB⊥A1C; （只做）（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，ABCB，

（i）求直线A1C

与平面BB1C1C所成角的正弦值；

0（ii）在棱AC上是否存在一点D，使得B1D与平面ABB1A1所成角60，若存在，求AD的值，若不存在，说明理由。

小结：

向量方法求空间角的基本步骤：

AC

例4（2017年理科数学全国2卷）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形

1AD，BADABC90,E是PD的中点.

2（不做）(1)证明：直线CE∥平面PAB；

（只做）(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的且垂直于地面ABCD，ABBC余弦值.

P

ME

A

D

BC

例5 （2011·浙江卷）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，

PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. （不做）（1）证明：AP⊥BC；

（只做）（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

作业：创新方案第135页例2、例3，和能力练通1-4题.

119.（1）取PA中点F，连结EF、BF.因为E为PD中点，则EF∥AD.而由题可知21BC∥AD，则EF∥BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以EC∥FB.又2EC面PAB，FB面PAB，故CE∥面PAB. z（2）因为ABAD，则以A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示.

取AB1，设CMCP(01)则得PFMEDCAA(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，3)，则xB y可得点M(1，所以BM(，CP(1，0，3)，CM(，0，3)，1，3). 1，3)，取底面ABCD的法向量为n(0，0，1)，则cosBM，n32132sin45，解得226，1，).因为AB(1,则BM(，0，0),设面MAB的法向量为222x0mAB0得，取z2得m(x，y，z)，由26xyz0mBM022m(0，6，2)，

n则cosm，

mnmn1010.故二面角MABD的余弦值为. 55