3.1.1 变化率问题名师教学设计2

第三章

导数及其应用

§3.1.1变化率问题

教学目标：

（一）知识与技能目标

（1）理解掌握平均变化率的的概念，会用平均变化率解决一些实际问题；

（2）平均变化率的几何意义. （二）过程与方法目标

通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻

画变量变化快慢程度的一种数学模型；体会发现问题，分析问题，解决问题的过程；

（三）情感态度与价值观

感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问

题、解决问题的能力．

教学重点：平均变化率的概念

教学难点：平均变化率概念的形成过程

教学过程：

（一）问题情境，引入课题（以姚明的身高为背景引入）

身高

问题1

篮球巨星姚明身高2.26，在他身高发展过程中有这样一段曲线：

观察并思考：

（1）图形有什么变化趋势？

（2）他在哪一个年龄段内身高变化最快？

（3）从图上我们只能观察身高变化的一个大致趋势，华罗庚先生曾说过：形缺数时难入微，那么如果从数的角度，该如何刻画他的身高变化快慢呢？

2.26 2.12 ●

●

●

1.61 ●

●

●

●

0.8 ●

4 ●

7 10 ●

13 ●

16 ●

19 ●

22 ●

年龄

过渡：

其实前人早就做了这方面的研究，而且早在17世纪就已形成了系统的理论，这就是“微积分”理论．微积分是数学发展史上的继欧式几何后的又一划时代的伟大创造，恩格斯是这样评价微积分的：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程、运动”，称微积分是“人类精神的最高胜利”．对于微积分的创立，有两位科学家做出了重大的贡献：牛顿和莱布尼兹。

今天我们一起来学习微积分的基础：导数的概念第一课——变化率问题．（板书课题）

变化率问题主要是研究变量变化快慢程度

（二）实例分析，探究概念

1、身高变化率

我们先来看看有没有什么办法解决问题1中的最后一个问题：如何从数的角度刻画他身高

变化快慢，也就是身高的变化率？

刚才通过我们对图形的观察发现，在[13，16]里曲线最陡，其他两段比较平缓

如果我们将这段曲线近似的看成直线段，我们是如何刻画直线的倾斜程度的？——直线的斜率，那么我们是否可以用同样的方法来刻画一下身高的变化率呢？

计算：在[13，16]这个年龄段里，身高的变化率：

身高的差值2.121.610.17（米/年）

年龄的差值1613那么这个年龄段的最陡，比值算出来是0.17（米/年），其他两端稍微平缓一些，也请同学们计算一下

1.61-0.80.09（米/年）

13-42.26-2.120.023（米/年）

[16,22]这个年龄段里，比值是22-16[4,13]这个年龄段里，比值是从三个比值可以看出，13—16岁这个年龄段比值最大，从图形上看这个是最陡的，所以我们从形和数两个方面都予以了刻画，形上，这个年龄段最陡；数上，这个年龄段比值最大。所以说，数和形是两相依，在这里，我们也能感受到。

（过渡：在我们的现实生活中了，有许多和变化率有关的例子，下面我们一起来看下面这个问题）

2、问题2

气球膨胀率

（课件展示）我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 我们都吹过气球，现在我请两位同学上来重温一下那段快乐的时光。

为了使每次打进去的空气尽量相等呢，我选择了用打气筒打气，这样相对于用口吹起均匀一些，好，现在我们让他打2下

请你们量一下此时气球的大致直径是多少？那么半径是多少，此时气球内空气的容量能不能算出来，是不是可以近似的把气球看成一个球啊？我把这个体积记为a。

现在，我们再来打一次，这次我们让他打4下，那么气球体积大约是多少？2a 再量一下此时气球的大约直径是多少？

当v=0升时，气球的半径是0dm；v从0增加到

a时，半径从0增加到

dm，当v从a增加到2a时，半径增加到

dm。所以从这里我们可以初步感受到，当气球内空气容量增加时，半径也在增加，但是半径增加的速度怎样啊？具体的计算留给大家课后进行。

关于这个现象了，课本上给了具体的计算，我们一起来看一下。



气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)43r

3因为气球半径是随着气球内空气容量的增加而增加的，所以半径r气球的体积V的函数



如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)3怎样计算气球半径的变化率，也就是气球的膨胀率？

3V

4

⑴

当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L)

10⑵

当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

气球的平均膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm/L)

21可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

现在我们将这两个具体的数值抽象出来，请同学们思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? r(V2)r(V1)

V2V1现在我们再来看一下这两个例子，他们有什么共同点？第一个例子是用身高的的差值比时间的差值，第二个是用半径的差值比体积的差值。所以这两个都是两个差值之比。我们再来看一个例子，先看一段视频

3、问题3

高台跳水

（在运动员起跳到入水之前的过程中，如果我们把运动员看成一个支点，那么这个支点的运动轨迹是什么？——抛物线的一段。我给出了在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）之间的函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.）我们应如何描述运动员的运动状态？）（生：高度之差/时间之差）

（课件展示）在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间（t单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：0t1和1t3的平均速度v

h h(1)h(0)1.6(m/s)；

10h(3)h(1)13.1(m/s)

在1t3这段时间里，v31在0t1这段时间里，v平均速度可正可负，那么可不可以为0 呢？

65探究：计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下49问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态准确吗？

ot 65)h(0)v490(s/m)，

6504965虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运49h(动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．那么该用什么量来刻

画运动员的运动状态更为准确一些呢？

如果我们将这个问题再抽象出来，在运动员起跳到入水的过程中的任意两个时刻t1到t2，运动员的平均速度为vht2ht1

t2t1到现在为止，我们讲了三个关于变化率的例子：身高变化率、气球的膨胀率以及平均速度。每个变化率的名称都不同，如果我们将它抽象为一个函数fx，函数fx的变化率如何计算

（三）归纳概括，得出概念

1．概念：函数f(x)从x1到x2的平均变化率为：

f(x2)f(x1)

x2x1如果将分母变为x1x2可行吗？分子也要相应的改变

一般的，我们令xx2x1,相应的

yf(x2)f(x1)

，那么平均变化率可表示为yf(x2)f(x1)

xx2x1若给x1一个增量x，那么x2x1x，平均变化率还可以表示为

f(x1x)f(x1)

x即：平均变化率可表示为yf(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)

xx2x1x

这是平均变化率的代数表示。

2.研究一个数学问题常从数和形两个方面入手，数缺形时少直观，形缺数时难入微。现在我们从图形来观察一下平均变化率的几何意义：

平均变化率

直线AB的斜率

f(x1) ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1f(x2) y y=f(x) △y =f(x2)-f(x1)

（四）课堂练习，运用概念

分别求下列函数在区间[1,2]上的平均变化率

（1）fx2

（2）fxx1

O △x= x2-x1

x2 x1 x 变式：如果将区间改为[1,3],[1,5],[2,3]等，这两个函数的平均变化率又是多少？

几何意义：直线的斜率

结论：一次函数y = kx

+ b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率就是斜率k

（备选）试举出生活中与变化率有关的例子

（五）小结

1、函数的平均变化率：yfx2fx1

xx2x2、求函数的平均变化率的步骤：

（1）求函数值的增量yfx2fx1

（2）求自变量的增量xx2x1

（3）计算平均变化率yfx2fx1

xx2x3、平均变化率的几何意义：函数f (x)图象上两点(x1, f(x1))、(x2, f(x2))所在直线的斜率

（六）作业

已知函数fxx2，分别计算fx在下列区间上的平均变化率： （1）[1，2]；（2）[1，1.1]；（3）[1，1.01]；（4）[1，1.001]。 引申：（1）求函数在[1,a] (a>1)上的变化率；

问题(2)当a趋近于1时，函数在[1,a] 上的平均变化率有何趋势？