存在既不是整数，也不是分数的数全国优秀课堂实录

课题 1、数怎么又不够用了（1课时）

课型

新授课

课标课标要求：了解无理数的概念。从有理数扩充到实数是第三学段数系扩张的最后一个与教阶段，中学阶段有关数的问题多是实数范围内进行讨论的，同时，实数也是后继学习材

的基础。人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的，数系的每一次扩张都源于生活的实际需要。学生在七年级上册的学习中经历了数系的第一次扩张，本章在有理数和勾股定理等知识的基础上，进行数系的第二次扩张。实数概念的建立，从某种意义上讲就是无理数概念的建立。《数怎么又不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节. 本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受数的发展，建立无理数的概念，第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数.这是第1课时，学生将在具体的背景中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的产生的实际背景和引入的必要性，并能判断一个数是无理数，并能说出理由。

教学重点

1．让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2．会判断一个数是否为有理数，是否不是有理数. 3．用计算器进行无理数的估算. 教学难点

1．把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2．无理数概念的建立及估算. 3．判断一个数是否为有理数.

八年级学生已经在学习《有理数》的过程中体会到数不够用了，刚刚学完《勾，再次感受到需要研究新的数了.在此基础上，学生能在“需要—探究—发现

股定理》—论证”式的课堂中积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法，从非常直观的学情

操作中发现问题，实现数的发展.

知识与技能目标

教学 1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 目标

2．能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由. 3．借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想. 过程与方法目标

1．学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神. 2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断识别某些数是否为有理数、无理数，训练他们的思维判断力. 3．借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力. 情感与态度目标

1．激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情. 2．引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作精神与钻研精神，借助计算器进行估算. 3．了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋半的献身精神. 教学教学方法：引导、探究、发现与合作交流相结合. 方法使用多媒体辅助教学

与媒

体

教具准备

两个边长为1的正方形，剪刀

师

生

活

动

过

复备修改及设程（第一课时）

计意图

通过这个问题，一.创设问题情境,引入新课

我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学学生回顾已经过哪些数呢?（自然数、小数、分数、负数.）

学过的数，师生我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负共同复习有理数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括数，为数的扩充整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要和发展做好铺呢？下面我们就来共同研究这个问题.

二 .讲授新课

1.问题的提出

垫。

教师鼓励学生积极地投入活请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正动中并完成任

方形和剪刀，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。

务，积极交流。

经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，同学们把自通过对实际问己拼的图展示如下..

题的解决，让学生将发现现实生活中存在不同于有理数的数，从而感受到需要学习新的数，激发学生的

总结：拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

求知欲望.

在教学过经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不程中，教师要关是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样注学生对“a既的数，由此看来，数又不够用了.

不是整数，也不是分数”的理解2.做一做：

(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多和应用过程。

少？

（多媒体展示）

通过学习史料，

开阔学生的视野，进一步丰富无理数的背景，激发学生的学习兴趣

，培养学生为捍卫真理而勇于献身(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？

(3)b是有理数吗？

（a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.）

3、介绍历史，开阔视野:关于无理数的发现是发现者付出了昂的精神，鼓励学贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆

“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，生敢于对问题也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫质疑、挑战，会希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据产生很好的教说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，育效果。

但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.

也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方

面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大

胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希

腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.

三.课堂练习

(一)课本P33随堂练习

通过练习，巩固新知，同时也让如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？学生感受到新可能是分数吗？

数的运用。

解

由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理

得h=3.h不可能是整数，也不可能是分数.

2四、课时小结

b．感受数不够用了，会确定一个数是有理数或不是有理数. 引导学生自己小结本节课的谈谈本节课你有什么收获与体会？有哪些困难需要别人帮你解决？

a．知识要点及数学方法，让学生c．本节课用到基本方法：动手、操作、观察、思考，猜想验证，推理，总结、相互补归纳等过程，获取数学知识

充，学会进行概五.课后作业

课本P33习题2.1

六.活动与探究

下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是括总结，使知识系统化。

有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.

解：如图，AB=2，BE=1，AB、BE是有理数.

AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC2＝1＋1＝2.

AE2=AB2+BE2=22+12=5.

AC、AD、AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.

教学评价：

1.学生对既不是整数，也不是分数的无理数能充分理解

2.对在方格中画符合条件的三角形学生掌握的不很熟练。

3.课堂上学生的讨论积极，思维活跃。

教学反思

数怎么又不够用了预习学案

预习目标

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.

2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.

预习过程：

1.问题的提出

请大家准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。小组交流。

总结：拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是____数，也不是___数，所以a不是_____数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.

2.做一做：

(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？

(3)b是有理数吗？

三.课堂练习

(一)课本P33随堂练习

如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？

四、介绍历史，开阔视野

关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯2索斯的发现.也就是我们前面谈过的a=2中的a不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.

五、活动与探究

下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.