三角形中的垂直平分线教学目标

北师大版 数学 八年级下册

第一章

第3节

《线段的垂直平分线》

南郑县76号学校 段卫华 723102 一、内容与内容解析

1、知识内容及内涵分析

本节课的内容是北师大版八年级下第一章《三角形的证明》的第三节《线段的垂直平分线》。本节要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，并达到熟练应用。线段的垂直平分线性质定理及其逆定理，在后继的计算、证明、作图中都有着重要的作用，培养学生对几何图形的拆、组合、分析、再拆、再组合，提升学生的识图、组图能力。通过师生共同合作探究，让学生在本节内容学习中进一步体会解决问题策略的多样性，培养学生应用数学知识解决问题的能力，体会一图多解转化的数学思想、同时渗透推理演绎的必要性。

2．教学重点

线段垂直平分线的性质定理及其尺规作图的作法，能够利用尺规作已知线段中点，能够利用尺规过直线上一点作已知直线的垂线，能够利用尺规过直线外一点作已知直线的垂线。

二、教学目标和目标解析

1．知识目标：

①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理；

②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；

③能够利用尺规作已知线段中点，能够利用尺规过直线上一点作已知直线的垂线，能够利用尺规过直线外一点作已知直线的垂线。

2．能力目标：

①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力；

②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神；

③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。 3．情感与价值观目标： ①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立信心；

③学会对一幅图的多种理解、多种分析，感受数学的魅力。

三、教学问题诊断分析

1、学生知识状况分析：线段的垂直平分线的概念在七年级下册的《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础；学生在七年级也学习了《尺规作角》为本节课的尺规作图打下了基础。本课在此基础上进一步理解线段垂直平分线的性质，学会线段的垂直平分线的尺规作图，使学生掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，并达到熟练应用，培养学生对几何图形的拆、组合、分析、再拆、再组合，提升学生的识图、组图能力。

2、教学难点：对线段垂直平分线的尺规画图、线段中点、过直线上一点作已知直线的垂线、过直线外一点作已知直线的垂线尺规作图的理解。

四、教学支持条件分析

1、教学方法分析：本节课教学模式主要采用“学生主体性学习”的教学模式. 提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人。

具体说明如下：

（1）参与探索发现，领略知识形成过程。学生前面，学习过线段垂直平分线的概念，这样由复习概念入手，顺其自然提出问题：在垂直平分线上任取一点P，它到线段两端的距离有何关系？学生会很容易得出“相等”. 然后学生完成证明，找一名学生的证明过程，进行投影总结. 最后，由学生将上述问题，用文字的形式进行归纳，即得线段垂直平分线定理. 这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，激发了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会。

（2）采用“类比、转化”的学习方法，获取逆定理。线段垂直平分线的定理及逆定理的证明都比较简单，学生学习一般没有什么困难，这一节的难点仍然的定理及逆定理的关系，为了很好的突破这一难点，教学时采用与角的平分线的性质定理和逆定理对照，类比的方法进行教学，使学生进一步认识这两个定理的区别和联系。

(3) 通过问题的解决，让学生学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力。

2、辅助教学手段分析：为了有效实现教学目标，本节课教学利用多媒体收集线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用的典型例题；突出多媒体的课堂容量大和直观易懂的优势；本节课还在画图过程中使用白板的尺规作图，通过和学生同步画图，能够真正掌握线段垂直平分线分线的尺规作图方法及用相关知识解决应用的一般步骤；本节课用导学案对使学生学习目标更明确，学习内容更清楚，学习方法更有效，学习时间更合理、更科学。采用自主、合作、探究的学习方式和课堂展示的教学模式，还有教师点拨、引导、共同参与的互动学习。教师教的轻松，学生学的轻松。课堂效率得到大大提高。

教具准备：多媒体教学课件、电子白板、投影仪、一张矩形纸片、学生准备尺规作图工具。

五、教学过程分析

活动流程图及活动内容： 活动1：通过折纸感受线段垂直平分线的存在性；

活动2：探索线段垂直平分线的性质；

活动3：探索线段垂直平分线的逆定理；

活动4：探索作线段垂直平分线的方法,掌握线段垂直平分线的作法；

活动5：探究线段垂直平分线的作图的原理；

活动6；由线段垂直平分线的作法想到的——线段中点的画法；

活动7：由线段垂直平分线的作法想到的——过直线上一点作已知直线的垂线的作图；

活动8：由线段垂直平分线的作法想到的——过直线外一点作已知直线的垂线的作图。

第一环节：创设情境，引入新课

活动1：在纸上画一条线段，通过折纸的方法找到线段垂直平分线 MMBABACNCANB

学生已经知道线段是一个轴对称图形。在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等，即对应点连线被对称轴垂直平分。利用轴对称的性质，用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合很快就能得到直线MN是线段AB的垂直平分线。

第二环节：探究性质

活动2：探究线段垂直平分线的性质

问题1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离是否相等？

学生开始测量、验证、得出结果。

问题2：怎样证明呢？

[师]：“要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?”

[师]鼓励学生：“我们班运动会得了团体一等奖，是我们班每一位同学努力的结果，谁去领奖呢？全都去呢还是选个代表？把它放在图形上，那怎样做呢？”

[学生]顿悟：“只需在图形上任取一点作代表，就可以了．”

[教师]肯定：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表，就可以了。我们只需在线段垂直平分线上任取一点D代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．”

P1MMD



P2P3



P4CAP5

B 图1 CP6

ANB图2 N已知：如图2，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，D是MN上的点．

求证：DA=DB．

证明：∵MN⊥AB， ∴∠DCA=∠DCB=90°

∵AC=BC，DC=DC, ∴△DCA≌△DCB(SAS)． ∴DA=DB(全等三角形的对应边相等)．

得到：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

活动3：探究线段垂直平分线的逆定理

[师]：线段垂直平分线定理的逆命题是什么？

（引导学生分析，转化条件和已知） MD

CAN_

M

DBACB如果一点到线段两端点的距离相等，这个点在线段的垂直平分线上

吗？要满足垂直、平分，可以先假定垂直再证明平分；或者先假定平分，再证垂直；还可以用等腰三角形的三线合一性质来证明。

得到：到线段两个端点的距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

第三环节：探究作图

活动4：探索作线段垂直平分线的方法

我们用折纸的方法折出过线段的垂直平分线．现在学习了线段垂直平分线的性质定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢？我们再次分析图1告诉我们的条件，由于两点确定一条直线，只需要确定到线段两个端点距离相等的两点就可以了，在众多点中选两点C、D，CA=CB、DA=DB即就是AC=BC，AD=BD，那画图就方便多了。

可以选用同侧的C、D两点如图3所示，也可以选用异侧的C、D两点如图4所示，还可以选用异侧的满足AC=BC=AD=BD 的C、D两点如图5所示，分析画法图5更简单，最后连接CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线。 CCCDAABD B ADB 图3 图4 图5 已知：线段AB 求作：线段AB的垂直平分线．

1作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于 AB的

2

长为半径作弧，两弧相交于点C和D．

（满足AC=AD=BC=BD）

2．作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

活动5：线段垂直平分线作图的原理

[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗? [生]从作法的第一步可知 AC=BC=AD=BD．

_

D_

A_

B_

C∴C、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)．

∴CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．

第四环节：作图的拓展

活动6：线段中点的画法

我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时．一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

BCA练习：尺规作图，把△ABC的面积四等份。

第五环节：再认识———过直线上的一点作已知直线的垂线

_

M

_

DD

_

A_

C_

NB_

CLL

ACB

延长线段AB得到直线L，过点C作直线L的垂线，基本构图还是图2,以C为中点找到点A、点B，再找一点D就可以了。

已知：点C在直线l上

求作：过点C作直线CD，使得CD⊥AB 作法：

1、以点C为圆心，以适当长为半径画弧交ｌ于A、B (满足CA=CB) 2、分别以点A、B为圆心，以大于AB为半径，在ｌ一侧作弧，交点为D（满足DA=DB）

3、连接CD，所以CD就是过点C与直线L垂直的直线，给予说理。

第六环节：再认识—-过直线外一点作已知直线的垂线

A

__

C_

NB_

_

DLL12_

M_

D_

D_

A_

B

_

C延长线段AB得到直线ｌ，过点D作直线ｌ的垂线，基本构图还是图2,以D为中点找到点A、点B，再找一点就可以了。

已知：点D在直线ｌ外

求作：过点D作直线CD，使得CD⊥AB 作法：

1、以点D为圆心，以适当长为半径画弧交ｌ于A、B(满足DA=DB)；

2、分别以点A、B为圆心，以大于AB为半径，在ｌ另一侧作弧，交点为C（满足AC=BC）；

3、连接CD，所以直线CD就是过点D与直线L垂直的直线，给予说理。

第七环节：课时小结 （学生先自行总结，教师再总述）

知识发面：能证明线段垂直平分线的性质定理，理解尺规作已知线段的垂直平分线的原理，掌握尺规作已知线段的垂直平分线的作法，能变通理解尺规作已知线段中点、过直线上一点作已知直线的垂线、过直线外一点作已知直线的垂线的原理及作法。

思想方法：注重对知识产生过程的体验，以及对一图的多种理解、多种分析的转化思想。

六、目标检测设计：

课堂练习：

1、如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 2、如下图，已知钝角△ABC，∠B是钝角．求作：（1）BC边上的高；

（2）BC边上的中线（写出作法，画出图形）．

12

课后作业

1、 如图（1）所示，已知线段a、b、h（h＜b）。求作△ABC，使BC=a，AB=b，

BC边上的高AD=h．

2、过点P作∠AOB两边的垂线。

七、教学反思 OAPB1、注重知识产生的过程：在证明线段垂直平分线的定理时，采用“如果一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表，就可以了”的“班长作用”；在探索线段垂直平分线的作法时，注重了取两点的不同选择以及对比，加深学生对知识产生的理解；

2、在探索线段垂直平分线尺规作图的过程中，注重画图原因的解释，增加了叙述说理，为学生理解为什么这么选取两点作线段的中垂线简单；

3、对图2的不同角度阐述，分别找到了线段中点的作图方法、过直线上一点作已知直线的垂线、过直线外一点作已知直线的垂线的原理及作法；

4、课后作业的设置围绕本节课的内容，逐层增加难度；

5、在学生画图过程中发现不同的作法，鼓励学生在黑板上展示、讲解，培养学生的发散思维。

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第一章

第3节

《线段的垂直平分线》

教学设计

单位：陕西省南郑县76号学校

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