7.4 课题学习　镶嵌 第二课时教案

《课题

镶嵌》

教学设计

唐山市第十八中学

吕建华

一、教学分析

（一）教学内容分析

《镶嵌》位于人教版数学七年级（下）第7章《三角形》最后。这一章先介绍基本平面图形三角形的相关概念和性质，再进一步推广到平面多边形相关概念及其内角和、外角和公式，最后将内角和公式应用于实际生活——镶嵌，本课题主要探究正多边形进行平面镶嵌的条件。这几节内容紧密联系，层层递进，适合学生的认知特点，易于激发学生的学习兴趣，也有利于他们整体把握这些内容。学生通过镶嵌这一课题的学习，经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决实际问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力、动手操作能力和审美意识，激发学生热爱数学、热爱生活的强烈欲望。

（二）教学对象分析

1．知识方面

学生在本节课之前，已经学习了正多边形的概念、多边形内角和公式与外角和公式等相关知识，并会进行相关计算和简单说理.通过本节课的学习，锻炼学生运用已学知识解决实际问题，进一步加强学生对图形的认识和感受，同时对已学内容进行巩固加强。

2．能力方面

七年级学生具有好说、好动的特点，并具备一定的操作计算机能力、动手能力、分析归纳能力、合作探究能力、观察猜想能力及敢于实践、敢于探索、善于发现的科学精神和创新意识。

3．学习本课的困难点

从实际问题中抽象出数学模型，进而用已学数学知识来解决问题，进行实际应用的数学思维能力较差。实验探究如何实现任意三角形和任意四边形的平面镶嵌存在一定的难度。

（三）

教学环境分析

本节课为七年级活动课，主要通过多边形的拼接实验探索哪些多边形可以进

1

行平面镶嵌以及平面镶嵌的原理。如果用制做的模型拼接，需要学生做大量的准备工作，拼图过程中又有很多问题：如松散易脱落、不易展示给大家看等。七年级学生又好说好动，课堂秩序不好维持，一节课下来，课堂效果可能不尽人意。

我针对以往教学环境下存在的诸多不足，将本节课设计成了计算机网络环境下的信息技术整合课，上课时学生每人一台电脑，以专题网站的形式整合数学教学资源，用信息技术和多媒体手段提高教学效率，优化教学效果。在教学过程中注重创设问题情境，让学生在现实中感受生活中的镶嵌，激发学习兴趣。运用探究式教学方式，利用Flash互动工具让每名学生亲自动手做数学试验和图案设计，引导学生自主学习、合作交流，培养学生合作学习的意识和创新精神，激发学习兴趣，提高学习能力，以及综合操作能力，从而有效的提高了课堂教学效率。

二、教学目标

课题的学习，要求学生先实验得出结论，再把结论运用于实践，是对已学知识的复习、巩固和应用的过程，也是培养学生多种能力的过程，所以确定如下教学目标：

1．

知识技能目标：

（1）理解平面镶嵌的含义；

（2）掌握平面镶嵌的条件，会用一种三角形、四边形、正六边形平面镶嵌，形成美丽的图案；

（3）经历探索多边形平面镶嵌条件的过程，并能运用几种图形进行简单的镶嵌设计；

（4）通过对平面镶嵌问题的探究，经历实验、观察、概括、运用等过程，提高各方面能力。

2．过程与方法：通过学生观察身边的地面或墙壁、观察电脑放映的图片来理解平面镶嵌的含义，通过学生利用电脑亲身实验感悟其原理。

3．情感与态度：平面镶嵌是体现多边形在现实生活中应用价值的一个方面，通过探索多边形的镶嵌并且欣赏美丽图案，从而感受数学与现实生活的密切联系，体会数学活动充满了探索性与创造性，培养学生学习数学的兴趣，促进创新意识、审美意识的发展。

三、教学重点、难点

2

重点：学生在计算机上动手实验，用正多边形拼出各种平面镶嵌图形。并由此探究出平面镶嵌的条件。

难点：实验探究如何实现任意三角形和任意四边形的平面镶嵌. 教学策略：为了突出重点，突破难点，本课题的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，关注学生的实践与操作，让学生通过拼图板，自己拼图，自主发现数学问题，进而解决问题，教师适时进行启发引导，帮助建立解题模型，同时充分利用网络教学的交互性，提供给学生更多的学习素材，降低学习的难度。网站的设计关注学生的自主学习，即使在没有教师的情况下也可以很好的获得知识。

四、教学过程

（一）教学流程图

欣赏激趣

活动探究

归纳总结

教师引导下学生自主在网站里浏览生活中的镶嵌实例，归纳概括出镶嵌的定义。

学生利用拼图板动手探究镶嵌的条件，完成三个探究活动，同时在表格和图片的辅助下得出相应的结论，将实践结果上升到理论。

在前面探究的基础上，学生自主发言归纳主要的知识点。

通过训练题进一步对学得的知识进行巩固应用，让理论来指导实践，做题后学生自己批判答案，向教师反馈信息，教师作出针对性讲解。

巩固应用

拓展延伸

这里安排了生活中的其他一些镶嵌作为欣赏，设置了课外阅读，学生自由浏览了解镶嵌画和镶嵌艺术，激发学习兴趣，扩宽视野。

轻松一刻

设置了5个和镶嵌有关的游戏，游戏的设置既注意了趣味性，又注意了对本课知识的理解，还注意了和其他学科的结合，如迷惑镶嵌，中国地图拼图。

（二）教学环节

1．欣赏激趣

【提出问题】在生活中我们见过很多地板和墙面具有美丽的图案，你想知道工人师傅是怎样利用地砖铺地板的吗？在地板铺设过程中，需要注意哪些问题，

3

需要满足什么要求呢？下面我们一起来探究一下。

【师生行为】引导学生利用网站中的flash动画观看图片，并与平面镶嵌图形进行对照，同时教师提醒学生注意观察地砖要将地面铺平，必须注意什么？学生回答：做到不重叠，无缝隙，从而引出平面镶嵌的定义及镶嵌的特征。

在学生细心观察图片的基础上，教师进一步提问：这些地砖平面镶嵌时，镶嵌形式有什么不同？引出镶嵌的两种形式：一种是顶点与顶点重合的情况，另一种是顶点落在其它多边形的边上，教师指出本节课仅研究前一种情况，从而确定本节课的研究方向，也为下边学生拼图明确做法。

【归纳】镶嵌定义：用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，又不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌

．

注意：镶嵌平面时，各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠

。

【本环节设计意图】紧密联系生活，利用flash动画生动形象的展示生活中地板镶嵌的实例引出本节课的主题，让学生体会数学源于生活。通过提供与地板图形相应的平面图形镶嵌对照图，帮助学生从现实生活实例中抽象出数学问题，建立数学模型，降低学生学习的难度。

通过对比不同地砖的镶嵌形式，树立学生的分类讨论思想。网络环境下，学生人手一台电脑，可以自己掌握动画播放进度，可以反复播放，因此给每个学生都留有足够的思考问题的时间，有力于促进全体学生的发展，调动每个学生的积极性。

2．

活动探究

【提出问题】地砖铺地板的过程，到底蕴涵着什么数学道理呢？让我们开始探索的历程吧！

（1）

探究一：

请看问题：小明家要装修地面，聘请你当设计师，请你从老师准备的正多边

4

形地砖中选取一种来铺地面，你会选择哪一种？打开活动探究，利用flash拼图板拼拼试试吧！

【学生活动】学生利用flash拼图板选择一种正多边形地砖开始认真的拼图，发现只有正三角形，正四边形，正六边形可以铺满平面，而正五边形不能铺满平面。

【学生活动】学生结小组讨论后，回答出镶嵌的两个条件：

①拼接在一个顶点的各个角的和恰好等于360度。

②相邻的两个正多边形有公共边。

【问题】要想铺满平面，拼在公共点处的各个角的度数应该满足什么条件？【问题】打开结论一，观察表中数据，归纳：能单独镶嵌平面的正多边形的一个内角的度数与周角360度有什么关系？

5

【学生活动】观察表中各个正多边形的内角度数，归纳得出：

能单独镶嵌平面的正多边形内角度数与周角360度的关系：正多边形的一个内角度数可以整除360度时，或者说360度是正多边形一个内角度数的整数倍时，这种正多边形可以单独平面镶嵌。

【提问】能不能说出正三角形、正四边形和正六边形单独镶嵌平面，每个顶点周围需要的图形个数？

【提问】正七边形能单独镶嵌平面吗？正八边形呢？

【学生活动】计算正七边形和正八边形的内角度数后，发现其他的正多边形的内角度数都不能整数360度，所以说其他的正多边形都不能单独镶嵌平面。

【讲解】承接上一个问题，随着边数的增多，将一个顶点周围铺满，所需图形个数越来越少，当所需图形继续减少，个数为2时，需要正多边形的内角度数为180度，这是凸多边形不可能达到的。因此，其它的正多边形都不可能进行平面镶嵌。

【归纳】1．只用一种正多边形进行平面镶嵌，有三种方法：

3个正六边形；4个正四边形；6个正三角形。

2．镶嵌的条件：（1）拼接在一个顶点的各个角的和恰好等于

360°

。

（2）相邻的两个正多边形有公共边。

3．单独镶嵌平面的正多边形内角度数与周角360°的关系：

这种正多边形的一个内角度数可以整除360°，或者说360°是这种正多边一个内角度数的整数倍。

（2）探究二：

如果选择两种正多边形地砖组合来铺地面，你会选择哪两种进行组合？

【学生活动】拼图探究用两种地砖铺地面的情况，进一步理解镶嵌的条件。

【问题】打开结论二，欣赏一下两种正多边形组合镶嵌的美丽图案，这些图案你是否拼出来了？怎样用式子概括一下这种组合与360度的关系？

6

【总结】两种正多边形镶嵌平面内角度数与周角360°的关系：

拼在一个顶点的各个角的和＝360°.

【引申】你可以设计用三种正多边形组合镶嵌的图形吗？课下自己试一试！

（3）探究三：

我们刚才所设计的图案都是用正多边形设计的，那么用任意凸多边形能不能铺满平面呢？选择拼图板中的任意三角形，或任意四边形再拼一下吧！

【学生活动】学生用拼图板中的任意三角形和任意四边形进行拼图，有的同学可以很顺利的得出镶嵌图案，有的同学可能镶嵌不得法，不能拼出来。

【问题】为什么用相同的任意三角形，或任意四边形也能平面镶嵌呢？

【学生活动】认真思考老师的问题，将三角形和四边形内角和与周角360度相联系。回答老师的问题。

【提示】不能回答教师问题时，教师提示打开结论三，参考已将不同的角区别开的拼接图，根据拼在一起的各个角的特点来回答问题，降低问题的难度。

【总结】1．相同的任意形状的三角形和相同的任意形状的四边形都可以镶嵌平面。

2．能够镶嵌平面的任意形状的多边形内角和与周角360°的关系：

360°是这种任意多边形内角和的整数倍。

【引申】用其它相同的任意多边形能不能铺满平面呢？

【学生活动】思考后回答：不能，因为其它多边形的内角和都比360度大，都不能整除360度。

【本环节设计意图】本环节是本课题的主体部分，我利用flash拼图板，设计了一些边长相同的正多边形地砖，让学生作设计师动手操作电脑模拟镶嵌地面，非常的生动形象，把数学课堂和日常生活融为一体。同时培养学生的动手能力，人手一台电脑，每个学生都有动手机会，可以调动全体学生的参与积极性。

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另外，克服了以往制做模型拼图的很多弊端，如需要学生做大量的准备工作，且拼得的图形易脱落等。教学过程通过学生自己动手来发现问题，解决问题，在教师的启发引导下，进一步得出相关的结论，让学生用自己的语言来描述结论，培养学生的归纳概括和语言表达能力。对于一些不易得出的结论，我设置了一些表格和图片，辅助学生解决问题，降低了学习的难度。本节课拼图探究分了三种情况，渗透了分类讨论思想。

互动的flash拼图板，表格、拼图图片等直观的网络素材，为本节课突出重点，突破难点提供了有力保障。教师适时的启发引导，使课堂节奏如行云流水般明快。网络环境下学生自主学习积极性的调动，使课堂的参与程度具有了空前的广泛性，充分体现了新型课堂中教师为主导，学生为主体的特点。

3．

总结归纳

在活动探究的过程中，产生了很多的结论，主要知识点需要学生重点掌握，因此本环节让同学们自主发言，总结归纳探究出的结论，对重点结论进一步加深理解和记忆，进行知识目标的再现。

【问题】通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些困惑？是否已经掌握了如下知识点？能不能自己设计镶嵌图案？

1．镶嵌的定义：

用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，又不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌

．

2．镶嵌的条件：

（1）拼接在一个顶点的各个角的和恰好等于

360°

。

（2）相邻的两个正多边形有公共边。

3．能单独镶嵌平面的图形有：

任意三角形，任意四边形，正六边形. 【师生活动】学生争相总结自己在探究活动中的收获和困惑，教师聆听，并与学生交流，有效的再现了学习目标。

【设计意图】通过小结，归纳出本节课的知识与方法。学生自由发言进行总结，可以很好的锻炼语言表达能力，可以调动学生对学得的知识进行有效的反思，在头脑中构建一节课的知识结构，培养反思的习惯。

4．

巩固应用

（1）

课堂练习

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一、基础训练

(每空10分) 1．下列正多边形不能够镶嵌成平面图案的是

(

).

A、正三角形

B、正方形

C、正五边形

D、正六边形

2．用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是（

）.

A、3

B、4

C、5

D、6

3．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有

6 个正多边形，则该正多边形的内角度数为（

）.

A、120°

B、90°

C、60°

D、45°

4．下列正多边形的组合中

, 不能平面镶嵌的是

(

).

A、正方形和正三角形

B、正方形和正八边形

C、正三角形和正十二边形

D、正方形和正六边形

5．用两种正多边形进行镶嵌，不能与正三角形匹配的多边形是（

）.

A、正方形

B、正六边形

C、

正十二边形

D、正十八边形

二、综合练习

1．

足球一般是由许多黑白相间的小皮块缝合而成的,黑块呈正五边形,白块呈正六边形(如图所示),已知黑块有

12 块,则白块有(

）.

A、32块

B、20块

C、12块

D、10块

2．

如图用两种颜色的正六边形地砖按图所示的规律镶嵌成若干个图案：

(1)第

4 个图案中有蓝色地砖(

)块

.

(2)第

n 个图案中有蓝色地砖(

)块

.

3．用边长相等的正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有

m 个正三角形，n个正六边形，那么m 、n满足的关系是（

）

A、2m + n =12

B、m + n = 8

C、m + 2n =12

D、m + 2n = 6

4．小刚和爸爸到市场买地板砖

, 准备装修新居

, 该市场有四种型号的正多边形地砖

, 它们的内角分别是

60 °

90 °

108 °

120 °

, 如果只选一种

,这些地砖哪个不适用

? （

)

A、60 °

B、90 °

C、

108 °

D、120 °

（2）课后作业

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【设计意图】在对本节课主要知识点进行小结之后，进行巩固练习，练习分为两部分。课堂练习基础训练主要针对基本知识点，综合训练具有一定的综合性，难度也相对较大，但二者都是对知识点的直接练习，收敛性大，发散性小。课后作业，主要布置的是图案的设计，是发散性练习，开拓学生思维，锻炼学生能力，是对课内知识的再次加工和应用。

课堂练习兼有课堂检测的功能，可以考察学生对课内知识的掌握情况，做完练习，点击“提交”按钮，网站自动给出得分，点击“正确答案”，系统会自动给出每道题的正确答案，可以很好的对每个学生的学习效果进行反馈以明确其在一堂课中的收获和不足，方便及时的查缺补漏，这也是网络环境下教学的一个明显的优势。另外，学生做完课后作业可以将自己的作品以图片的形式发送到老师的邮箱，便于展示学生的作品，实现师生互动。

5．

拓展延伸

（1）

镶嵌欣赏

利用flash制作的欣赏图片，有埃舍尔的镶嵌作品，有生活中的一些镶嵌实例（既有平面镶嵌，又有曲面镶嵌，甚至空间镶嵌），有用几何画板设计的美丽图案，每个图点击后可以放大在右边的空白区域。

（2）

课外阅读

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三个阅读材料，分别是御花园中的石子画、镶嵌画和蜂窝猜想。了解镶嵌在生活中更广泛的应用，体会镶嵌艺术的妙处。课外阅读除了文字，还配有精美的典型图片，给学生以美的享受。

石子画 镶嵌画 蜂窝猜想

（3）

埃舍尔艺术

镶嵌艺术的最高境界就数埃舍尔的艺术作品了，第三个扩展性资源设置的是埃舍尔的大量作品，有关埃舍尔本人的介绍及其作品特点的介绍，让学生充分了解镶嵌艺术的广阔天地，培养学生的审美意识，热爱数学、热爱艺术的思想情操。

【设计意图】在课内知识得到充分巩固的基础上，充分利用网络环境教学的优势，我给同学们提供了丰富的拓展资源，来扩宽学生的视野，培养审美情趣。学生在网站中自由浏览，欣赏美丽的艺术作品，培养学生热爱数学，热爱生活，热爱艺术的思想情操。

6．

轻松一刻

安排了五个镶嵌游戏，学生可以在学完课内知识之后，放松一下。

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【设计意图】设置了5个和镶嵌有关的游戏，游戏的设置既注意了趣味性，又注意了对本课知识的理解，学生在学后玩，玩中继续学，加深对镶嵌相关知识的理解。游戏还注意了和其他学科的结合，如中国地图拼图。另外游戏还渗透了用任意形状的图形也可以进行镶嵌的特点，只要满足：拼到一起的各个图形不重叠，又无缝隙即可，从而为镶嵌的知识理论画上了圆满的句号。

备注：学生课后作业展示：

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