2.3.1 双曲线的标准方程教案推荐

课题：双曲线的标准方程

教学设计思路：

数学问题来源于生活问题.本节课采用“问题情境”教学模式，从实际问题（炮弹爆炸问题1）引出了双曲线，复习了双曲线的定义.追问了问题2旨在将几何问题转化为代数问题来研究，引入解析的思想，并引导学生复习回忆求曲线方程的一般思路（建系、设点，列式，化简，检验）.在得到较为复杂（含有较大数字）的方程之后，追问了问题3，旨在引导学生遇到具体问题要有符号化和一般化的处理方法，共性问题模型化的数学思想，对学生进行了由特殊到一般的思维训练，引出本节课的主要教学目标——双曲线标准方程模型的建立.解决了双曲线的标准方程，即解决了具体的实际问题.对学生进行了由一般到特殊的思维训练.在标准方程的推导过程中，放了充足的时间让学生动手实践，旨在培养学生逻辑运算的能力.并引导学生和椭圆进行类比，引出参数b.接着比较了焦点在y轴上的双曲线的标准方程与焦点在x轴上的标准方程的异同，并比较了双曲线与椭圆的标准方程的不同点，加强学生的对比、比较、联想记忆.例1通过简单的问题设置巩固定型定量的思想，思考意在让学生学会先模型识别，后定型定量.例2进一步巩固求双曲线标准方程的方法—直接法和待定系数法，无法定型则需要分类讨论来处理.反馈两个小题的设置意在及时强化学生对标准方程的理解、分类讨论和一般化思想的深化.开放性作业的设置让学生有更大的兴趣去运用数学模型解决生活实际问题. 本节课把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境-问题-情境”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程. 问题情境

问题1一炮弹在某处爆炸，在A、B两处听到爆炸声的时间差为2s，请问爆炸点在什么曲线上？

生1：双曲线. 师：为什么是双曲线，你是怎样判断的？

生1：时间差有2s，说明爆炸点离A、B两处距离有远近，若设此时的风速为v，爆炸点为P，则有|PAPB|2v，所以爆炸点P在以A、B两点为焦点的双曲线上. 师：（追问）点P满足|PAPB|2v，则爆炸点P一定在双曲线上吗？

生1：2v要满足一定的条件2vAB，当2v=AB时，点P在以A、B两点为端点的两条射线上，当2vAB时，无实际意义. 师：非常好，对于双曲线的定义掌握的非常到位，下面看问题2. 问题2已知A、B两地相距800m，设此时声速为340m/s，你能建立适当的坐标系求出爆炸点所在的曲线方程吗？

生2：设爆炸点为P，则有|PAPB|2340AB800，所以爆炸点P在以A、B两点为焦点的双曲线上.

师：通过前面圆，椭圆方程的建立回忆求曲线方程的一般步骤. 1

生2：建系、设点、列式、化简、检验. 师：非常好，你能运用所学建立适当的坐标系求出爆炸点所在的曲线方程吗？

生2：以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A、B两点的坐标为A(400,0),B(400,0)，设爆炸点P(x,y)，则由|PAPB|2340得|(x400)2y2(x400)2y2|680

师：看学生想要继续做下去打断学生，这样的含有较大数字的式子去化简是不是会很复杂？

生众：平方后数字很大，很难处理. 师：你能将上述式子符号化吗？继而将上述问题一般化吗？

问题3

你能将上述问题一般化吗？

生3：将400,680用字母来带，令2c800,2a680，则

|(xc)2y2(xc)2y2|2a

师：此处想到用2c,2a来代换800,680，说明对于知识迁移做得非常到位（椭圆方程就是引进了2c,2a），值得大家学习. 从而问题2可以一般化：

设双曲线的焦距为2c，双曲线上任一点到两焦点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,(ca0)，试探求双曲线的方程. 2222生4板演：通过建系设点列式可以得到|(xc)y(xc)y|2a，下面进行化简

22不妨设(xc)y(xc)2y2，则有(xc)2y2(xc)2y22a，

(xc)2y22a+(xc)2y2

2222222两边平方得(xc)y4a4a(xc)y(xc)y

222即2cx4a4a(xc)y2cx

222即4cx4a4a(xc)y

222即cxaa(xc)y

两边再平方得(cxa)a[(xc)y]

即cx2acxaa(x2cxcy)

2

2224222222222

即c2x22a2cxa4a2(x22cxc2y2)

即(a2c2)x2a2y2a4a2c2a2(a2c2)

师：这个式子和推导椭圆方程过程中的式子一样，能否和椭圆的处理方法一样引进一个参数b，将方程简化。

x2y2生众：令bac，则221

ab222师追问：双曲线的方程和椭圆的方程难道一样？

222生5：由双曲线的定义知2a2c，即ac。所以bac不成立，可以令x2y2bca，从而可以得到221(a0,b0)

ab222师：非常好，类比椭圆又要注意到和椭圆的区别.大家再来看下生4一开始的处理，不妨22设(xc)y(xc)2y2，如何理解？

(xc)2y2应该22生6：这样给出的方程应该是双曲线一支的方程.若(xc)y得到的双曲线另外一支的方程. 22师：生6解释的非常到位，那么对于(xc)y(xc)2y2的情形，得到的方2222程是什么呢？引导学生回到等式|(xc)y(xc)y|2a，在去绝对值的时候2222直接加上正负号，即(xc)y(xc)y2a，从而

(xc)2y22a+(xc)2y2

2222222两边平方得(xc)y4a4a(xc)y(xc)y

222化简得cxaa(xc)y

两边再平方得(cxa)a[(xc)y]

22下同生4的推导。由此可见对于(xc)y22222(xc)2y2的情形得到的方程仍然x2y2是221(a0,b0)

abx2y2师：我们将这样建系得到的方程221(a0,b0)称为双曲线的标准方程.其中abb2c2a2. 3

接着用双曲线的标准方程解决了问题情境提出的问题. 这里先考虑一个一般性的问题，解决了一般性问题，再运用一般性问题的结论来解决这个具体问题.这种一般化的思想是数学中极其重要的一种思想方法，它可以将复杂问题简单化，共性问题模型化，是解决数学问题的一种重要手段. 师：类比椭圆探究焦点在y轴上双曲线的标准方程. y2x2生7：焦点在y轴上双曲线的标准方程应为221(a0,b0)

ab师：你是如何得到此方程的？

生7：类比上述过程即可得到. 师：生7的想法和给出的结论都是正确的，同学们课后可去加以验证.当然这里我们也可以用变换的观点来看，即将x变为y，y变为x即可. 师给出焦点分别在x轴，y轴上两种类型的标准方程的比较

定义

图象

F1|MF1MF2|2a(02aF1F2)

yMyMF2oF2xF1x

方程

焦点

x2y21(a0,b0)

a2b2(c,0)

y2x21(a0,b0)

a2b2(0,c)

a,b,c的关系

师给出椭圆与双曲线标准方程的比较：

b2c2a2

4

问题探究

例1已知双曲线的两个焦点分别为F1(5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.

x2y2生8：因为焦点分别为F1(5,0),F2(5,0)，所以双曲线的标准方程为221(a0,b0)

abx2y21. 又2a8,c5，从而a4,bca9，所以双曲线的标准方程为169222师：求标准方程的策略（1）定型（2）定量

PPT演示解题的规范性. P满足|PF1||PF2|8，求动点P的轨迹方程. 思考：已知两定点F1(5,0),F2(5,0)，动点生9：由双曲线的定义可知动点P的轨迹是以两定点F1(5,0),F2(5,0)为焦点的双曲线的右x2y21(x0). 支. 由2a8,c5得a4,bca9，所以双曲线标准方程为169222师：PPT投影解题的规范性. 例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）a3,b4，焦点在x轴上；

（2）a25，经过点A(2,5)，焦点在y轴上.

师生共同完成，学生10答，老师黑板上演示其规范性. 师：给出变式（1）（2）中去掉焦点在坐标轴上，则结果如何？

生众：需要分类讨论. 师（由于时间有限）：同学们课后完成. 5

反馈小结

反馈

1、双曲线9x216y2144的焦点坐标为

. 2、经过两点M(43,1)，N(4,3)的双曲线的标准方程是

. 3时间比较紧，课上没有来得及处理反馈，放到课后学生巩固练习

小结

学生自我小结，教师适当补充.（略）

师（结束语）：本节课从生活实际问题出发引出了一般性问题——双曲线标准方程的建立. 利用双曲线的标准方程解决了实际问题.其中类比了椭圆方程的推导方法，并比较了焦点在不同坐标轴上双曲线标准方程的区别与联系，比较了椭圆与双曲线的标准方程的异同.初步探讨了求双曲线的标准方程的方法①定义法②待定系数法（定型定量）

师：最后给出2个问题供同学们课后思考. 课后探究

1、

在问题情境问题2中，若测得在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2s，试求爆炸点所处的曲线方程？

2、

进一步地，你能设计一个方案确定爆炸点的具体位置吗？

（阅读课本49页阅读材料课后自主探究完成小论文一篇）

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