1.3.1 量词教学设计第一课时

1.3 全称量词与存在量词

1．3.1

量词

1．3.2

含有一个量词的命题的否定

●三维目标

1．知识与技能

(1)通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

(2)了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用含有量词判断其命题的真假性．使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

2．过程与方法

使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

3．情感、态度与价值观

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

●重点难点

重点：理解全称量词与存在量词的意义，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．

难点：全称命题和存在性命题真假的判定，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教学时，应从具体的实例入手，归纳出全称量词和存在性量词的定义，进而得出全称命题和存在性命题的定义，讲清命题的格式，总结命题真假的判断方法，从而突出教学重点．对于含有一个量词的命题的否定，是本节课的难点，化解的方法是，由特殊到一般，由具体到抽象，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时，既要否定量词，又要否定结论．

(教师用书独具)

●教学建议

本节课是命题的延伸和深化，首先应分析几个全称命题、存在性命题的例子，通过具体的实例，得出全称量词和存在性量词的定义，进而得出全称命题和存在性命题的定义，讲清命题的格式，总结命题真假的判断方法，进而探究命题真假性的判定方法，对于含有量词的命题的否定，由特殊到一般，由具体到抽象，掌握否定的规律．

●教学流程

通过具体实例归纳出全称量词和存在性量词的定义，进而得出全称命题和存在性命题的定义，讲清命题的格式，总结命题真假的判断方法．⇒通过具体实例得出含有一个量词的命题否定的方法，归纳出否定的规律和步骤．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握全称命题和存在性命题的结构及区分方法．对省略量词的命题也要注意辨析是否是全称命题或存在性命题．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握全称命题和存在性命题真假的判别方法．除了利用真值表，还要利用相关章节的知识．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握全称命题和存在性命题的否定的方法和步骤，掌握其否定真假的两个判别方法．⇒通过易错易误辨析，体会探求含有量词“至少”、“至多”的命题的否定方法．避免因量词的否定错误而导致否定的错误．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基力达标，巩固基本知识，形成基本能.

1.了解全称量词与存在量词的意义，能用全称量词和存在量词叙述简单的数学内容．(重点) 课标解读

2．能判定全称命题和存在性命题的真假．(难点) 3．了解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(易错点)

【问题导思】

观察下列语句

(1)对于所有的x∈R，x≤2；

(2)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数；

(3)存在一个x∈R，使4x＋2＝10；

(4)至少有一个x∈R，使x能被5和8整除．

全称量词、存在量词与全称命题、存在性命题

1．以上语句是命题吗？

【提示】

都是命题．

2．语句(1)和(2)有什么共同特点？

【提示】

都有对变量x的限定条件：“对所有的x∈R”，“对任意一个x∈Z”．

3．语句(3)、(4)有什么特点？

【提示】

含有对变量x取值的限定条件“存在一个x∈R”，“至少有一个x∈R”．

1．全称量词与全称命题

(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．

(2)含有全称量词的命题称为全称命题，一般形式为：∀x∈M，p(x)．

2．存在量词和存在性命题

(1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．

(2)含有存在量词的命题称为存在性命题，一般形式为：∃x∈M，p(x)．

【问题导思】

观察下列命题：

(1)被7整除的整数是奇数；

(2)有的函数是偶函数；

(3)至少有一个三角形没有外接圆．

1．命题(1)的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？

【提示】

不对，命题(1)是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．

2．命题(2)的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？

【提示】

不对，应为每一个函数都不是偶函数．

3．判断命题(3)的否定的真假．

【提示】

命题(3)的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．

1．“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，綈p(x)”．

全称命题与存在性命题的否定

2．“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.

全称命题与存在性命题的辨析

判断下列命题是全称命题还是存在性命题：

(1)有一个实数α，使得tan α无意义；

(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；

(3)直线y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)在y轴上有截距；

(4)棱锥的底面多边形中有正多边形；

(5)直线x＝2的斜率不存在．

【思路探究】

可先判断命题中的量词特征，再运用全称命题和存在性命题的定义求解．

【自主解答】

(1)命题中含有存在量词“有一个”，因此是存在性命题．

(2)命题中含有全称量词“每个”，因此是全称命题．

(3)由于直线y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)表示的是一系列直线，因此该命题是全称命题．

(4)命题用量词表示为：存在一些棱锥，它们的底面多边形是正多边形，因此是存在性命题．

(5)“直线x＝2的斜率不存在”，表明存在一直线x＝2斜率不存在，因此是存在性命题．

1．若命题含有全称量词或存在量词，则该命题的类别容易辨析，如(1)(2)．

2．若一个命题在字面上没有量词出现，但隐含着量词的存在，可将量词补齐后再辨析类别．

判断下列命题是全称命题还是存在性命题：

(1)a>0且a≠1，则对任意x，ax>0；

(2)对任意实数x1，x2，若x1

(3)存在实数T，使得|sin(x＋T)|＝|sin x|；

(4)存在实数x，使得x2＋1<0. 【解】

(1)(2)中含有量词“任意”，是全称命题；

(3)(4)中含有量词“存在”，是存在性命题．

全称命题与存在性命题的真假

判断下列命题的真假：

(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；

(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；

(4)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．

【思路探究】

命题分类→按各自真假判别方法判别→结论

【自主解答】

(1)真命题．

(2)真命题，如：函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．

(3)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数．

(4)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．

1．全称命题的真假判断：一般从全称命题为假命题入手，寻找使其为假命题的反例，找不到，再从证明∀x∈M，p(x)成立入手判定其为真命题．

2．存在性命题的真假判断：一般从存在性命题为真命题入手，寻找使其为真命题的特例，找不到，再从证明∀x∈M，p(x)不成立入手判定其为假命题．

(2013·东城高二检测)下列命题中，真命题的序号是________．

①∀x∈R，－x2－1<0；②∃x∈R，x2＋x＝－1；

1③∀x∈R，x2－x＋>0；④∃x∈R，x2＋2x＋2<0. 4【解析】

①为全称命题．∵x2＋1>0恒成立，∴－x2－1<0恒成立，为真命题；②中，13111x2＋x＋1＝0即(x＋)2＋＝0恒不成立，为假命题；③中，x2－x＋＝(x－)2≥0当x＝时，24422等号成立，假命题；④中，(x＋1)2＋1<0为假命题．

【答案】

①

全称命题、存在性命题的否定

分别写出含有一个量词的命题的否定，并判断其真假．

(1)有些素数是奇数．

(2)所有的矩形都是平行四边形．

(3)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．

(4)∃x∈R，x2＋2x＋5>0. 【思路探究】

命题分类→改变量词→否定结论→判断真假

【自主解答】

(1)是存在性命题，其否定为：所有的素数都不是奇数，假命题．

(2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．

(3)是全称命题，其否定为：存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没有实数根．

∵Δ＝4＋4m<0，即m<－1时，一元二次方程没有实根，

∴其否定是真命题．

(4)是存在性命题，其否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≤0. ∵Δ＝4－20＝－16<0，

∴x2＋2x＋5恒大于0. ∴∀x∈R，x2＋2x＋5≤0为假命题．

1．命题p的否定为“非p”，二者真假性相反，即若p为真(假)，则“非p”为假(真)．

2．常见关键词的否定：

关键词

词语的

否定

是

不是

>

≤

<

≥

都是

不都是

所有

有一个

有的

任意

至少有n个

至多有

n－1个

全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．

写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p：∀x∈R，都有|x|＝x；

(2)p：∀x∈R，x3>x2；

(3)p：至少有一个二次函数没有零点；

(4)p：存在一个角α∈R，使得sin2α＋cos2α≠1.

【解】

(1)p是全称命题．

綈p：∃x∈R，有|x|≠x，如x＝－1，|－1|＝1≠－1，

所以綈p是真命题．

(2)p是全称命题．

綈p：∃x∈R，x3≤x2，如x＝－1时，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，

即(－1)3≤(－1)2，所以綈p是真命题．

(3)p是存在性命题．

綈p：所有二次函数都有零点，

如二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0. ∀x∈R，y＝x2＋2x＋3≠0. 所以p是真命题，因此綈p是假命题．

(4)p是存在性命题．

綈p：∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1，

设任意角α终边与单位圆的交点为P(x，y)，

则sin α＝y，cos α＝x，显然有sin2α＋cos2α＝y2＋x2＝1，

所以綈p是真命题．

写出下列命题的否定．

(1)p：平面内凸多边形的内角至多有三个锐角；

(2)p：三角形中至少有一个内角不小于60°. 【错解】

(1)綈p：平面内凸多边形的内角至少有三个锐角．

(2)綈p：三角形中至少有一个内角小于60°. 【错因分析】

错解的主要原因是不能正确认识“至少”与“至多”的区别．

【防范措施】

对于一些含有“至多”“至少”等量词的命题的否定，由于不能正确认识“至少”与“至多”的区别而导致错误．一般地，“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”；“至少有n个”的否定为“至多有n－1个”．另外，“至少有一个”所表达的含义重在“有”，即“存在”之义，其否定应该为“没有”或“不存在”．

【正解】

(1)綈p：存在平面内凸多边形，它的内角至少有四个是锐角．

(2)綈p：存在三角形，它的内角都小于60°.

1．判断全称命题与存在性命题的真假，首先应分清命题的类别，然后判断真假，全称命题一假则假，都真才真；存在性命题，一真则真，都假才假．

2．含有一个量词的命题的否定，应注意两个变化：(1)量词的变化，全称量词与存在量词互换；(2)结论的变化，p(x)变为綈p(x)．

3．利用全称命题与存在性命题互为否定的关系，可以帮助我们间接判断一些命题的真假：

若一个全称命题是真命题，则它的否定即存在性命题一定是假命题；

若一个全称命题是假命题，则它的否定即存在性命题一定是真命题；

若一个存在性命题是真命题，则它的否定即全称命题一定是假命题；

若一个存在性命题是假命题，则它的否定即全称命题一定是真命题.

1．下列命题中，是全称命题的为________，是存在性命题的为________．

①不论m取什么实数，关于x的方程x2＋x－m＝0必有实根；

②对于所有的实数x，都有x2>0；

③存在一个平行四边形，它的两条对角线长相等．

【解析】

②显然为全称命题，③为存在性命题，①可写出∀m∈R，x2＋x－m＝0有

实根，也为全称命题．

【答案】

①②

③

2．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________．

【解析】

存在性命题，用“∃”符号．

【答案】

∃x<0，(1＋x)(1－9x)>0 3．(2013·重庆高考改编)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．

【解析】

因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，綈p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”．

【答案】

存在x0∈R，使得x20<0 4．写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p：有的正方形是矩形；

(2)r：∃x∈R，x2－x＋2>0；

(3)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 【解】

(1)綈p：任意正方形都不是矩形．假命题．

(2)綈r：∀x∈R，x2－x＋2≤0.假命题．

(3)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0.假命题.

一、填空题

1．下列命题中，是正确的全称命题的是________．

(1)对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0；

(2)菱形的两条对角线相等；

(3)∃x∈R，x2＝x；

(4)对数函数在定义域上是单调函数．

【解析】

(1)(2)(4)为全称命题，(1)中，(a－1)2＋(b－1)2≥0，原命题假．

(2)菱形的对角线相互垂直，原命题假．(4)y＝logax当a>1时为增函数，当0

【答案】

(4) 2．下列命题中含有存在量词的是________．

①所有正方形都是矩形；

②每一个有理数都能写成分数的形式；

③有些三角形是直角三角形；

④一切三角形的内角和都等于180°；

⑤存在一个实数x，使得x2＋x－1＝0.

【解析】

③⑤中的量词为“有些”“存在一个”均为存在量词．

【答案】

③⑤

3．下列命题中假命题有________个．

①∀x∈R，x＋1≥x；

②存在既是奇函数又是偶函数的函数；

③∃x∈R，x2－2x－3＝0；

④所有正方形都是菱形；

⑤∀x∈R，|x|≥x. 【解析】

②③④⑤为真命题，①为假命题．

【答案】

1 4．(2013·淮安高二检测)命题“∃x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是________．

【解析】

否定量词，否定结论．

【答案】

∀x∈R，x2＋x＋1>0 5．命题“∀x∈R，x2＋1>0”的否定是________．

【解析】

全称命题的否定为存在性命题．

【答案】

∃x∈R，x2＋1≤0 6．(2013·启东高二检测)有四个关于三角函数的命题：

xx1p1：∃x∈R，sin2＋cos2＝；

222p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；

p3：∀x∈[0，π], 1－cos 2x＝sin x；

2＋πp4：sin x＝cos y⇒x＋y＝. 2其中的假命题是________．

xx1【解析】

p1：∃x∈R，sin2＋cos2＝是假命题；p2是真命题，如x＝y＝0时成立；222p3是真命题，

∵∀x∈[0，π]，sin x≥0，∴1－cos 2xπ＝sin2x＝|sin x|＝sin x；p4是假命题，如x＝，22πy＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠. 2【答案】

p1

p4

7．已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是________．

112①∃x∈R，ax2－bx≥ax0－bx0；

22

112②∃x∈R，ax2－bx≤ax0－bx0；

22112③∀x∈R，ax2－bx≥ax0－bx0；

22112④∀x∈R，ax2－bx≤ax0－bx0. 2211【解析】

x0是方程ax＝b的解⇔x＝x0是f(x)＝ax2－bx的对称轴⇔∀x∈R，ax2－2212bx≥ax0－bx0(a>0)．

2【答案】

③

8．(2013·无锡高二检测)已知命题p：任意“x∈[0,1]，a

≥ex”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题p

为真命题，q是假命题，则实数a的取值范围是________．

【解析】

因p为真命题，故当x∈[0,1]时，ex∈[1，e]，∴a≥e；又q为假命题，∴Δ＝16－4a<0即a>4.综上，当p为真命题，q为假命题时，a的取值范围是(4，＋∞)．

【答案】

(4，＋∞) 二、解答题

9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假：

(1)有的实数是无限不循环小数；

(2)任何实数都有算术平方根；

(3)每一个四边形的四个顶点共圆；

(4)有的梯形对角线相等．

【解】

(1)存在性命题，如2就是无限不循环小数．

∴(1)是真命题．

(2)全称命题，－4无算术平方根，∴(2)是假命题．

(3)全称命题，∵只有对角互补的四边形四个顶点才共圆，∴(3)是假命题．

(4)存在性命题，有的梯形如等腰梯形的对角线相等，

∴(4)是真命题．

10．写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x∈R，x2＋1<0；

(4)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3. 【解】

(1)命题的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．

(2)命题的否定是：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是

菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．

(3)命题的否定是：“不存在x∈R，x2＋1<0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”．由于x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．

(4)命题的否定是：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．

∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．

111．(2013·常州四星级中学联考)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－x－a≥0”与命题q：2“∃x∈R，x2＋2ax＋8－2a≤0”，若p或q真，p且q假，求实数a的取值范围．

11【解】

命题p：对x∈[1,2]，a≤(x2－x)min，即a≤－.命题q：(2a)2－4(8－2a)≥0，22即a≤－4或a≥2，p或q真，p且q假，有两种情况：“p真q假”和“p假q真”．

1a≤－21若“p真q假”即⇒－4－2若“p假q真”即⇒a≥2. a≤－4或a≥21综上：满足条件的实数a的取值范围是(－4，－]∪[2，＋∞). 2

(1)若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围；

(2)若关于x的不等式x2－ax－a≤0的解集不是空集，求实数a的取值范围．

【思路探究】

1解集为R⇔恒成立⇔全称命题⇒

2解集非∅⇔有解⇔存在性命题法一：Δ判别式法

法二：函数最值法

【自主解答】

法一

判别式法

(1)设f(x)＝x2－ax－a，

则关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，

即f(x)>0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a2＋4a<0，解得－4

即x2－ax－a≤0有解，只要Δ＝a2＋4a≥0，

解得a≤－4或a≥0. 法二

函数的最值法

(1)设f(x)＝x2－ax－a，则关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)⇔f(x)>0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f(x)min>0，

4a＋a2即f(x)min＝－>0，解得－4

4即a2＋4a≥0，解得a≤－4或a≥0.

1．对于一元二次不等式的解法以及不等式“恒成立”和“能成立”问题，可以结合全称命题和存在性命题的意义，转化为“三个二次”的相互关系，运用一元二次方程的根的判别式以及函数的最值加以解决．

2．求解问题的过程中，要注意等价转化，否则将导致错误．

已知命题“∀x∈R，ax2－2ax－3≤0”是真命题，求实数a的取值范围．

【解】

当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；

当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a＜0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a＜0. 综合以上两种情形可知，实数a的取值范围是[－3,0].