6.4 反三角函数教学设计与反思

6.4反三角函数（1）——反正弦函数

一、教学内容分析

根据反函数的概念，正弦函数y=sinx（x∈R）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R的一个子集[-，]，那么函数y=sinx，

x∈[-，]就存在反函数，为什么要选取[-，22222]，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx，

x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，222记作y=arcsinx，x∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx的理解比较困难，前面符号中的x必须满足|x|≤1，arcsinx是[-数间的图像关系，函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像和函数y=sinx，

x∈[-，]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函222，2]的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]是奇函数，且单调递增.

二、教学目标设计

，]有反函数；22理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-，]. 22

1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx，

x∈[-

2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x∈[-1，1]的图像. 3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 三、教学重点及难点

教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质. 教学难点：反正弦函数yarcsinx,x1,1的产生和从本质上处理正弦函数ysinxxR的反函数问题. 四、教学过程设计

一、

情景引入

1．复习

我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.

2．思考

那么正弦函数是否存在反函数呢？

[说明]

因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.

3．讨论

正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得ysinx在该区间上存在反函数.

1

因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得ysinx存在反函数呢？

这个区间的选择依据两个原则：

（1）ysinx在所取区间上存在反函数；

（2）能取到ysinx的一切函数值1,1. 可以选取闭区间,，使得ysinx在该区间上存在反函数，而这个反函数就22是今天要学习的反正弦函数.

二、学习新课

1．概念辨析

（1）反正弦函数的定义：

函数y=sinx， x∈[-1]. （2）反正弦函数的性质：

①图像

21yy=arcsinxy=x，]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，22

y=sinxo12x

②定义域[-1，1] ③值域[-，] 22 ④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]

2

⑤单调性：增函数

[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线yx对称，函数y=sinx，x∈[-对称.

，]22与函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像关于直线

2．例题分析

例1．求下列反正弦函数的值：

yx（1）arcsin13；（2）arcsin0；（3）arcsin（-）

22解：（1）因为sin11=，且∈[-，]，所以arcsin=. 2662622，]，所以arcsin0=0. 22 （2）因为sin0=0，且0∈[- （3）因为sin（-33）=-，且-∈[-，]，所以arcsin（-）=-. 3322322例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：

（1）sinx=2，x∈[-，]；

2231，x∈[-，]；

5223

，x∈[-π，0]. 3（2）sinx=-（3）sinx=-解：（1）因为x∈[-2，]，由定义，可知x=arcsin；

22311，]，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin；

5522 （2）因为x∈[- （3）在区间[-33，0] 上，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin；

233

3

33]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin，满足 sinx=-.23333因此x= arcsin或x=-π+arcsin. 33 在区间[-π，-例3．化简下列各式：

（1）arcsin（sin40）；（2）arcsin（sin）；*（3）arcsin（sin2007）

57解：（1）因为=∈[-，]，设sin=α，所以arcsinα=，即arcsin（sin）722777. 7444[-，]，而∈[-，]，且sin=sin，设sin=sin=55522225554α，所以arcsin（sin）= arcsin（sin）= 55（2）因为arcsinα=. 50000000（3）因为sin2007=sin（5×360+207）=sin207=sin（180+27）=-sin27

所以arcsin（sin2007）= arcsin（-sin27）=- arcsin(sin27)=- 27. 例4．求函数f（x）=2arcsin2x的反函数f（x），并指出反函数的定义域和值域. 解：设y=2arcsin2x，则-10000y= arcsin2x，

211，]，所以x∈[-，]，y∈[-л，л]，根据反2222y1y1x-1正弦函数的定义，得2x=sin，x= sin，将x，y互换，得反函数f（x）= sin，2222211定义域是[-л，л]，值域是[-，]. 22因为2x∈[-1，1]，arcsin2x∈[-

3．问题拓展

例1．证明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1] 证明：∵x∈[-1，1]，∴ -x∈[-1，1] ∴sin[arcsin（-x）]= -x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x

4

又因为arcsin（-x）∈[-，]，-arcsinx∈[-，]，且正弦函数在[-，]上222222单调递增，所以arcsin（-x）=-arcsinx，

x∈[-1，1]. [说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明. 例2．设x∈[31，]，sinx=，用反正弦函数值表示x. 2323，]，所以（π-x）∈[-，]，又sin（π-x）=sinx，得sin（π2222111-x）=，于是π-x=arcsin，x=π- arcsin. 333解：因为x∈[[说明]

对于用反正弦函数值表示区间[-，]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实22际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习. 以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学. 三、巩固练习

判断下列各式是否成立?简述理由. 33=；（2）arcsin=；（3）arcsin1=2kл+，k∈Z；（4）arcsin322231（-）=- arcsin；（5）sin（arcsin2）=2；（6）arcsin=. 3362（1）arcsin解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-，2]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符. 2四、课堂小结

教师引导学生总结：

（1）反正弦函数的定义；

（2）反正弦函数的性质.

五、作业布置

（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4 （2）思考题：求函数f（x）=2π-arcsin2x的反函数f（x），并指出反函数的定义域和值域. 七、教学设计说明

1．关于教学内容

反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角

5 -1

函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用. 2．关于教学方法

为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质.

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