6.4 反三角函数教学设计方案

《反正弦函数》教学设计

课题：6.4（1）反正弦函数

执教者：施嘉华

上课班级：高一10班

教学目标：

1.

通过教师引导，学生体会理解反正弦函数的概念，能由正弦函数图像得出反正弦函数的图像和性质，并进一步利用反正弦函数的概念解决相关问题。

2.

学生在经历反正弦函数的定义、图像及性质的形成过程中，培养锻炼发现问题、观察问题、解决问题的能力。通过师生间的互动学习促进学生探究能力的提高，养成主动思考以达到对知识的发现和接受，进而完成知识的内化。

3.

联系实际情境，激发学生主动钻研数学的兴趣和热情，从中欣赏数学的理性的奥妙和美感。

教学重点：反正弦函数的概念

教学难点：反正弦函数概念的理解、接受以及具体运用

教学方法：引导发现法、讲授法、多媒体辅助教学的方法

教学过程：

一、

引例

由于各方面的因素计算得神舟六号的发射角（x0x那么x42.4资料显示：发动机的点火时间与控制角度必须做到精确控制，控制角度相差0.1度落点相差300公里。所以我们必须解决一个问题：为了保证能发射到预定的轨道上，如何精确地表示锐角x?转化为数学问题，即已知sinx0.6743（0x2）应满足sinx0.6743,2），求x?

二、

复习旧知（反函数的知识）

【提问

1】：

指数函数yax(a0,a1)的反函数？yax(a0,a1)ylogax(a0,a1)定义域：R 定义域：（0,+）值域：（0，+） 值域：R

·

互为反函数的两函数定义域、值域互反

f(x)的定义域为D，值域是Af-1(x)的定义域为A，值域是D则有恒等式：f(f(x))x,xDf(f-1(x))x,xA-1·

•

互为反函数的两函数的图象关于直线

y=x

对称

•

奇函数的反函数仍为奇函数

【提问2】：怎么求函数yx2(x0)的反函数？解：yx2,x[0,)xy交换x、y可得：yx所求的反函数为yx，x[0,)

[求反函数的步骤]：①反解出x ②交换x、y ③写出反函数的定义域（即原函数的值域）

【提问3】：函数yx2(xR)是否存在反函数？解：yx2(xR)xy原函数不存在反函数

•

函数yf(x)存在反函数的条件是？—————x与y一一对应

三、

新授课

【提问】：

1、判断正弦函数ysinx有没有反函数？为什么？

对于定义域R上的每一个x值，在[-1,1]上都有唯一确定的y值（sinx）与其对应但对于[-1,1]上的每一个y,在R上有无数多个x值与其对应所以正弦函数ysinx(xR)没有反函数

2、那你能否给出正弦函数定义域的一个子集D,使得函数ysinx,xD存在反函数？3、你能给出几个这样满足条件的子集D？4、请您选取一个合适的区间作为定义域，在此基础上来定义“反正弦函数”！

x与y一一对应值域仍为[-1,1]包含锐角集合连续

（一）反正弦函数的定义：

函数ysinx，x[,]的反函数叫做反正弦函数，记作yarcsinx22定义域是[-1,1],值域为[

,]22【本质】：arcsinx表示一个角，而这个角的范围是[

,]

22例1：求下列反正弦函数的值：2243(2)arcsin23(1)arcsin(3)arcsin121(4)arcsin()26(5)引例【关键】：找寻在闭区间[-,] 符合要求的角22[想一想]：当x[1,1]时，sin（arcsinx）=x当x[-

,]时，arcsin(sinx)x(设角的方法证明)

22[算一算]：求下列反正弦函数的值：22(1)sin(arcsin)33

11(2)sin[arcsin()]22(3)sin(arcsin2)无解sin（arcsinx）=x

【总结】：当x[1,1]时，

13[求一求]：求sin(arcsinarcsin)的值441115解：设arcsin=[,]，则sin,cos42244

337设arcsin=[,]，则sin,cos42244173157315原式=sin(+)=sincoscossin444416【方法】：设角法

[算一算]：arcsin(sin)99

5arcsin(sin)arcsin(sin)666arcsin(sin3.49)arcsin(sin(0.49))0.49【总结】：当x[-利用三角函数线。

,]时，arcsin(sinx)x；

22（二）探究反正弦函数的图像与性质：

注：补充恒等式arcsin(x)arcsinx,x[-1,1]

反正弦函数自变量为正时，函数值为正角；自变量为负时，函数值为负角。

四、

例题精讲

例2、当x[-(1)sinx3535

,]时，用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x22解：xarcsin(2)sinx1411解：xarcsin()arcsin44

【变式】

(1)sinx3，x[,]5235

解：x-arcsin13(2)sinx，x[-,-]422法一：几何法（利用三角函数线）法二：代数法

(3)sinx3，x[0,]3

3解：在区间[0,]上，xarcsin23在区间(2,]上，xarcsin33xarcsin33或xarcsin33【分类讨论思想】

五、

课堂小结：反正弦函数

1、正弦函数ysinx(xR)没有反函数

2、函数ysinx，x[,]与yarcsinx，x[1,1]互为反函数

22·

它们的定义域和值域互换

·

它们在定义域上都是奇函数，图像关于原点中心对称

·

它们在定义域上都是单调递增函数

3、恒等式

sin（arcsinx）=x,x[1,1]

arcsin(x)arcsinx,x[1,1]

arcsin(sinx)x,x[

,]

22

六、

作业布置：天天练31 七、

拓展探究：

思考：是否可以类比反正弦函数的定义，给出反余弦函数和反正切函数的定义？

八、

课后小练习：

某工厂制作一精密零件，形状如图ABC，B为钝角，技术人员要求a13mm,b17mm,A30,问制作的零件中B的大小。（用反正弦函数值表示）

【变式】若把条件A=30改为c=8mm，如何求解？