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专题三

立体几何

高考考情

全国卷

2016 考情

分值：22分．

题型：选择、填空、解答题．

题量：两小一大．

难度：中档题为主．

考点：三视图，几何体的表面积与体积，空间平行与垂直关系的判定与证明. 预测

2018 通过对近3年全国高考试题分析，可以预测：

1.“立体几何”在高考中仍会以“两小一大”的命题形式出现．

2.这“两小”主要考查空间几何体三视图及表面积与体积，与球有关的组合体，点线面位置关系的判断(特别是平行与垂直)．

3.解答题多出现在第18或19题的位置，其基本模式是“一证明二计算”即第(1)问考查平行与垂直关系的证明，第(2)问多考查表面积与体积的计算. 2015

2017 (Ⅰ卷) T7(三视图) (Ⅰ卷) T11(异面直T6(圆锥体线所成角) 积) T18(线面关T11(三视图) 系、体积) T18(棱锥体(Ⅱ卷) 积) T4(表面积) (Ⅱ卷) T7(三视图) T6(三视图) T19(线面关T10(表面积、系、体积) 体积) (Ⅲ卷) T19(空间线T10(三视图) 面间位置关T11(球体积) 系) T19(空间直线关系、体积) (Ⅰ卷) T6(线面关系) T16(棱锥体积、表面积) T18(面面垂直、棱锥体积) (Ⅱ卷) T6(三视图) T15(球表面积) T18(线面关系、棱锥体积) (Ⅲ卷) T9(圆柱体积) T10(线线垂直) T19(线面垂直、四面体体积) 第1讲

空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题

一、明确考纲

（1）空间几何体

①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 1

④会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. 考纲解读：对比2017年高考考纲，下划线部分为今年新增的内容，可能出一些与生活相关的问题，例如水立方、鸟巢、比萨斜塔等的三视图，求解决一些简单的计算问题。

二、重温真题

1.(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条28π互相垂直的半径.若该几何体的体积是3，则它的表面积是(

)

A.17π

C.20π

B.18π

D.28π

2.(2017·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(

) A.90π

C.42π

B.63π

D.36π

3.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(

) 2

A.π

πC.2

3πB.4

πD.4

4.(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________.

感悟高考

1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.[来源:Z_xx_k.Com]

三、知识精讲

1.空间几何体的三视图

(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等. (2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体. 2.空间几何体的两组常用公式

(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：

①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；

1②S锥侧＝2ch′(c为底面周长，h′为斜高)；

1③S台侧＝2(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)；

④S球表＝4πR2(R为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式：

①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

1②V锥体＝3Sh(S为底面面积，h为高)；

4③V球＝3πR3. 四、题组精练

3

热点一

空间几何体的三视图与直观图

【例1】

(1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是(

)

(2)(2017·泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于(

)

A.42

C.41

B.34

D.52 探究提高

1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图. 2.由三视图还原到直观图的思路

(1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状. 【训练1】

(1)(2017·兰州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧4

视图的面积之和为(

)

A.1

C.3

B.2

D.4 (2)(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(

)

热点二

几何体的表面积与体积

命题角度1

空间几何体的表面积

【例2－1】

(1)(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

) 5

A.20π

C.28π

B.24π

D.32π

(2)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(

)

A.10

C.14

B.12 D.16 探究提高

1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 【训练2】

(2017·枣庄模拟)如图，某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形1及对角线，若该三棱锥的体积是3，则它的表面积是________.

6

命题角度2

空间几何体的体积

【例2－2】

(1)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(

) A.3

C.1

3B.2

3D.2

1(2)(2017·山东卷)由一个长方体和两个4圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________.

探究提高

1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解. 【训练3】

(1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为(

)

12A.3＋3π

12C.3＋6π

12B.3＋3π

[来源学科网]2D.1＋6π

7

(2)(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(

)

A.60

C.20

热点三

多面体与球的切、接问题

【例3】

(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(

) A.4π

C.6π

9πB.2

32πD.3

B.30

D.10 探究提高

1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题. 【训练4】

(2017·济南一中月考)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(

) A.36π

C.144π

B.64π

D.256π

五、归纳总结

1.求解几何体的表面积或体积

(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算. (2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解. (3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是8

等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用. (4)求解几何体的表面积时要注意S表＝S侧＋S底.

2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内3a2切球、棱切球的半径分别为2a，2，2a. 113.锥体体积公式为V＝3Sh，在求解锥体体积中，不能漏掉3. 六、自我挑战

一、选择题

1.(2017·北京燕博园研究中心)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(

)

A.π

C.3π

B.2π

D.8π

2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是(

)

A.2

3C.2

9B.2

D.3 3.(2017·衡阳联考)如右图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何9

体的表面积为(

)

A.6π

C.4π

2B.3π＋3 D.2π＋3 4.(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(

)

πA.2＋1

3πC.2＋1

πB.2＋3 3πD.2＋3 5.(2017·衡水中学调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球(

)

4141A.48π

41B.4π

10

C.4π

二、填空题

4πD.3

6.(2016·四川卷)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.

7.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 8.(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母V1线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V的值是________. 2

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