习题1.1评课稿

第二节

空间几何体的表面积与体积

1．

圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

2．空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体

柱体(棱柱和圆柱)

锥体(棱锥和圆锥)

台体(棱台和圆台)

球

表面积

S表面积＝S侧＋2S底

S表面积＝S侧＋S底

S表面积＝S侧＋S上＋S下

S＝4πR2

体积

V＝Sh

1V＝Sh

31V＝(S上＋S下＋S上S下)h

34V＝πR3

3S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π(r＋r′)l

[小题体验]

1．如图是一个空间几何体的三视图，其中正(主)视图、侧(左)视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是(

) 41πA．

383πC．

3B．62π

3104π

3D．4解析：选D

由题意得，此几何体为圆柱与球的组合体，其体积V＝π×23＋π×22×63104π＝. 32．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为(

)

A．83

C．12

B．63

D．8 3a＝23，∴a＝4，∴1232解析：选B

设此三棱柱底面边长为a，高为h，则由图示知＝32×4×h，∴h＝3，

4∴侧(左)视图面积为23×3＝63. 3．(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．

答案：2∶3

1∶1 4．(教材习题改编)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，它的表面积为________．

解析：过S作SD⊥BC，

∵BC＝a，∴SD＝∴S△SBC＝32a，

432a＝3a2. 43a，

2∴表面积S＝4×答案：3a2

1．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．

2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．

3．易混侧面积与表面积的概念．

[小题纠偏]

1．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(

)

A．84 cm3

C．100 cm3

B．92 cm3

D．108 cm3

解析：选C

由三视图的几何体，利用体积公式求解．由三视图可得该几何体是棱长分别为6,3,6的长方体截去一个三条侧棱两两垂直，且长度分别为3,4,4的三棱锥，所以该11几何体的体积是6×6×3－××4×4×3＝108－8＝100 cm3. 322．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．

解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S＝3×4×21＋2×2×2＋4×22×2＋4×6＋×(2＋6)×2×2＝72＋162. 2答案：72＋162

考点一

空间几何体的表面积基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(

)

A．8＋22

B．11＋22

C．14＋22

D．15 解析：选B

由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋22. 2．(易错题)(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(

) A．1

C．4

B．2

D．8 12解析：选B

如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，

∴(5π＋4)r2＝16＋20π，

∴r2＝4，r＝2，故选B. 3．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为(

) 12

A．125

C．24

B．242

D．123 解析：选A

由三视图得，这是一个正四棱台，由条件知斜高h＝22＋12＝5，侧面积S＝2＋4×5×4＝125. 2[谨记通法]

几何体的表面积2种求法

(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．

(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求

这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．注意衔接部分的处理，如“题组练透”第2题

考点二

空间几何体的体积重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

1．(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

113π7π5πA．＋2π

B．

C．

D．

3632解析：选B

由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其1113体积为π×12×2＋×π×12×1＝π. 2362．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

) 1A．

81C．

61B．

71D．

5

求解几何体体积的必备策略

常见类型

球的体积问题

锥体、柱体的体积问题

以三视图为载体的几何体体积问题

不规则几何体的体积问题

解题策略

直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径

根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解

将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解

常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解

[即时应用]

1．(2016·浙江瑞安模拟)已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是(

)

A．2

C．6

B．4

D．12 1解析：选B

由三视图可知此棱锥是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，所以V＝31×2＋4×2×2＝4. ×2