信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆教学设计及教案分析

用《几何画板》探究点的轨迹：圆

教学设计

一、教学目标

1、通过分析题目，找出动点形成的原因，掌握与圆有关的求动点轨迹方程的方法（如：定义法、坐标法、相关点法、交轨法），能正确书写方程并进行化简；

2、认识并应用几何画板，追踪动点模拟轨迹，能猜测验证轨迹方程，感受方程和数形结合的思想，感受信息技术在数学中的高效性，激发学习热情。

二、教学重难点

1、重点：利用《几何画板》探究点的轨迹，选择合适的方法求出轨迹方程，并能解释方程的几何意义；

2、难点：利用《几何画板》模拟轨迹，想象数学模型。

三、教学过程

（一）回顾复习，引入新课

师：在前面我们已经学习了圆的方程，现在我们一起回顾一下：

[问题1]在平面直角坐标系中，圆的曲线是怎么形成的? 生：在平面内，一动点以一定点为中心，以一定长为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫圆。

[问题2]假设一个定点为（3，2），半径为2，你能求出圆的方程吗？你是如何做的？

生：能，圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=4。

[问题3]这个结果，你是应用什么方法得到的？

生：定义法。

在必修1中我们就接触了一种软件《几何画板》。几何画板是一个适用于几何教学的软件。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、轨迹跟踪等，构造出更复杂的图形。它的最大特点是动态性，用鼠标拖动图形上的任一元素，事先给定的几何关系保持不变。我们可以任意拖动图形、观察图形、发现结论、猜测并验证。

演示几何画板圆的生成。

今天，我们就利用几何画板，来探究点的轨迹：圆。

[设计意图]学生在初中就学过圆，知道圆的定义：在高中，学习了圆的方程；理解圆的方程与圆的几何要素之间的关系。本环节通过三个问题，引导学生从定义的角度再认识圆，接触了简单的动点运动形成轨迹的方程求解方法，在《几何画板》的辅助下，验证了轨迹与方程的美系，感受数形结合的思想，

（二）探究新知，层层引入

探究1：已知点P(2，0)Q(8，0)，点M与点Q的距离是它与点P的距离的5倍，用《几何画板》探究点M的轨迹，并给出轨迹的方程。

几何画板演示。

师：如何求出轨迹的方程？

引导学生审题，比较与圆的定义的区别，在坐标系中找出相关的点。

问题1：点M如何选取才能满足题意，在点M运动的过程中，始终满足什么等量关系？

问题2：这个等量关系能否用方程去表示？（学生板书解题过程）

师：这种方法叫坐标法。

[设计意图]在本题的探究中，借助于《几何画板》的动态演示，使学生体会在线段QM与PM的距离变化的情况下，只要保证两个距离的比值不变，动点M的运行轨迹遵循一定规律，进而用坐标法求出点的轨迹。

变式训练：如果比值变为3、2、1，情况又是怎样？

探究2：已知线段AB的端点B的坐标为(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

师：引起M点变动形成轨迹的原因是什么?（学生讨论）

生：M是线段AB的中点，A在圆上运动，M被动运动。

师：在点M变动过程中，不变的关系是什么？用坐标表示。

生：设M（x,y），A（x0,y0）

∵M是线段AB的中点

∴由中点坐标公式

x04x2y03y2

[问题6]怎么建立M点的横坐示x与纵坐杯y之间的方程关系式? 生：∵A（x0,y0）满足圆的方程(x+1)2+y2=4 ∴(x+1)2+y2=4……（1）

又∵x02x4y02y3……（2）

∴（2）代入（1），得

（2x－4＋1）+(2y-3)2=4 即(2x-3)2+(2y-3)2=4 展开并化简，得到

(x32)2(y32)21

32这是M的轨迹方程，它是以（，32）为圆心，1为半径的圆。

[设计意图]通过让学生观察几何画板的动态演示，使学生体会相关点法的本质：所求动点因为某一个动点的运动而运动，及两个动点各自满足的条件及联系，进一步熟悉轨迹方程的求法。

探究3：已知原点（0,0）和A（10,0），过点O、A分别作互相垂直的直线l和，垂足为M，试用几何画板探究点M的轨迹曲线，并写出轨迹方程。

用几何画板进行演示。

师：在本题中，点M是由谁产生的？

生：两条直线的交点。

师：怎么求计算两直线的交点？

生：联立两条直线的方程。

师：直线如何计算？

生：还需要设直线的斜率。

[设计意图1本环节的图形想象是个难点，《几何画板》的应用恰好突破了这一难点，学生在思考的司时能参考动点的运动，找到变化和不变的因素，通过关系式解决问题，充分的利用了信息技术，完成了教学任务。

（四）归纳总结，巩固知识

1、通过本节课的学习，你有哪些收获。

2、谈谈对求点的轨迹方程的新认识、新理解。

求动点形成的轨迹方程:圆，有哪几种方法? 生1：定义法：一动点以一定点为中心，以-一定长为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆，找到圆心和半径得到圆的方程。

生2：相关点法:求出动点M(x,y)与定点A(x0,y0)的坐标关系，代入并消去A点坐标，得到M的横纵坐标之间的关系式，即为轨迹方程。

生3：坐标法：设点M(x,y)，找到动点满足的关系，用坐标表示M点的集合，得到方程f(x,y)=0，化简得到结论。

生4：交轨法：利用参数设出两条曲线的方程，联立消去参数，得到关于交点M（x,y）的方程，化简得到结论。

(五)作业布置

1.若直角△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0)，求直角顶点C的轨迹方程。

2.已知点A(-3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|=2|PB|，求点P的轨迹方程。

（六）、教学反思

1、由于条件的限制，学生没有亲自操作《几何画板》只涉及了初步的认识，在以后的课程中可以尝试让学生自己操作，培养信息技术的应用能力；

2.学生能根据定义法、坐标法、相关点法求解点的轨迹方程，对于交轨法发现点的性质较为困难，数形结合还有待提高。

（七）板书设计

利用几何画板探究点的轨迹：圆

求轨迹方程的方法：

1、定义法

2、坐标法

3、相关点法

4、交轨法