2.2.4 平面与平面平行的性质第二课时教学设计

2.2.4

平面与平面平行的性质

明目标、知重点

1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题；2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．

1．平面与平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

(1)符号表示为：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (2)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来作空间中的平行线．

2．面面平行的其他性质

α∥β⇒a∥β. (1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即a⊂α(2)夹在两个平行平面间的平行线段相等；

(3)平行于同一平面的两个平面平行．

[情境导学]

两平面平行的判定定理解决了两平面平行的条件；反之，在两平面平行的条件下，会得到什么结论呢？本节我们共同探讨这个问题．

探究点一

平面与平面平行的性质

思考1

如何判断平面和平面平行？

答

有两种方法，一是用定义法，须判断两个平面没有公共点；二是用平面和平面平行的判定定理，须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行．

思考2

如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？

答

如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行．

思考3

如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么位置关系？

答

平行或异面．

思考4

在长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面AC内哪些直线与B′D′平行呢？

答

在平面AC内且与直线B′D′共面的直线都与B′D′平行．

思考5

当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？如何证明它们的关系？

答

两条交线平行．下面我们来证明这个结论．

已知

如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b. 求证

a∥b.

证明

∵α∩γ＝a，β∩γ＝b，

∴a⊂α，b⊂β. 又∵α∥β，

∴a，b没有公共点，

又∵a，b同在平面γ内，

∴a∥b. 小结

平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

思考6

如何用符号语言表示平面与平面平行的性质定理？这个定理的作用是什么？

答

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.定理的作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行．

探究点二

平面与平面平行的性质定理的应用

例1

求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．

已知

如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.

求证

AB＝CD. 证明

因为AB∥CD，

所以过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD. 因为α∥β，所以BD∥AC. 因此，四边形ABDC是平行四边形．

所以AB＝CD. 反思与感悟

直线与平面平行可以判定平面与平面平行；而由平面与平面平行的定义及性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行．这揭示出直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．

跟踪训练1

证明：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．

已知

如图，α∥β，l∩α＝A，

求证

l与β相交．

证明

在β上取一点B，过l和B作平面γ，由于γ与α有公共点A，γ与β有公共点B，所以γ与α，β都相交．设γ∩α＝a，γ∩β＝b，因为α∥β，所以a∥b.又因为l，a，b都在平面γ内，且l与a交于点A，所以l与b相交，所以l与β相交．

例2

如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β，EF∥α.

证明

①当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，

∴AC∥BD，∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD，

又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥β. ②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β＝l，在l上取一点H，使DH＝AC.

∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，

∴AC∥DH，

∴四边形ACDH是平行四边形．

在AH上取一点G，

使AG∶GH＝CF∶FD，

又∵AE∶EB＝CF∶FD，

∴GF∥HD，EG∥BH，

又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，

∴平面EFG∥平面β. ∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β. 综上，EF∥β. ∵α∥β，EF∥β且EF⊄α，∴EF∥α. 反思与感悟

面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定

与性质的综合应用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种平行关系之间的相互转化．

跟踪训练2

如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.

证明

过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，

则B1EB1GBA＝1B1B.

∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，

∴C1FB1C＝G1BB1B. ∴FG∥B1C1∥BC，

又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，

∴平面EFG∥平面ABCD，而EF在平面EFG内，

∴EF∥平面ABCD.

1．平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面四种情形：

①a∥b.②a⊥b.③a与b异面．④a与b相交．其中可能出现的情形有(

A．1种

B．2种

C．3种

D．4种

答案

C 解析

因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，

所以直线a与直线b无公共点．

当直线a与直线b共面时，a∥b；

当直线a与直线b异面时，

a与b所成的角大小可以是90°. )

综上知，(1)(2)(3)都有可能出现，共有3种情形．

2．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中(

) A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一一条与a平行的直线

答案

D 解析

直线a与B可确定一个平面γ，∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b.由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，所以b唯一．

3．过正方体ABCD—A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．

答案

平行

解析

因平面ABCD∥A1B1C1D1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，所以l∥A1C1(面面平行的性质定理)．

4．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________．

答案

a⊂β或a∥β

解析

若a⊂β，则显然满足题目条件．

若a⊄β，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由α∥β得b∥c，所以a∥c，又a⊄β，c⊂β，所以a∥β. [呈重点、现规律]

1．常用的面面平行的其他几个性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图

一、基础过关

1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是(

) A．平行

C．异面

答案

A 解析

两平行平面α，β被第三个平面γ所截，则交线a、b平行．

2．已知a、b表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是(

) A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b

B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β

C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

答案

D 解析

A中α∩β＝a，b⊂α，a、b可能平行也可能相交；B中α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α，也可能b在平面α或β内；C中a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的性质定理，若加上条件a∩b＝A，则α∥β.所以应选D. 3.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(

) A．2∶25

C．2∶5

答案

B 解析

面α∥面ABC，

面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，

∴AB∥A′B′，

同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，

A′B′2PA′24S△A′B′C′∶S△ABC＝()＝()＝. ABPA254．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是(

) a∥ca∥γ⇒a∥b;

②⇒a∥b；

①b∥cb∥γB．4∶25 D．4∶5 B．相交

D．不确定

α∥cα∥γ⇒α∥β；

③⇒α∥β；

④β∥cβ∥γα∥cα∥γ⇒α∥a;

⑥⇒a∥α. ⑤a∥ca∥γA．④⑥

C．②③⑤⑥

答案

C 解析

由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．

5．给出四种说法：

①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ. ②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交．

③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α. ④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b. 其中正确说法的序号是________．

答案

①②③

解析

①正确，因平面α与γ没有公共点．

②正确．若直线a与平面β平行或直线a⊂β，

则由平面α∥平面β知a⊂α或a与α无公共点，

这与直线a与α相交矛盾，

所以a与β相交．

③正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，

由α∥β得a∥b. 因为PQ∥β，PQ⊂γ，

所以PQ∥b. 因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．

因为a⊂α，所以PQ⊂α. ④错误．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交和异面都有可能．

6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、DE2B、C与D、E、F.已知AB＝6，＝，则AC＝______. DF5答案

15 B．②③⑥

D．②③

DEABDF5解析

由题可知＝⇒AC＝·AB＝×6＝15. DFACDE27.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. 求证：N为AC的中点．

证明

∵平面AB1M∥平面BC1N，

平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，

平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，

∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，

∴四边形ANC1M为平行四边形，

11∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，

22∴N为AC的中点．

二、能力提升

8．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C(

) A．不共面

B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面

C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D．不论A、B如何移动，都共面

答案

D 解析

如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′. 则CE∥AA′，∴CE∥α. C′E∥BB′，∴C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α. ∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α. ∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．

9．如图，已知平面α∥β，P∉α，且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．

答案

24

5解析

因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD. 因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，

PAPB68－BD所以AB∥CD，所以＝，即＝. ACBD9BD24所以BD＝. 510．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．

答案

2 解析

取正方体相邻三个面为α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①，若α与β相交，如图所示，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除③.容易证明②④都是正确的．

11.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：EE1∥平面FCC1. 证明

因为F为AB的中点，所以AB＝2AF. 又因为AB＝2CD，所以CD＝AF. 因为AB∥CD，所以CD∥AF，

所以AFCD为平行四边形，

所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，

AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1. 因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，

DD1⊂平面ADD1A1，

所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，

所以平面ADD1A1∥平面FCC1. 又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1. 12.如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．

解

当F是棱PC的中点时，

BF∥平面AEC，证明如下：

取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE，①

1由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为2BD的中点，连接OE，则BM∥OE，②

又FM∩BM＝M，CE∩OE＝E，OE⊂平面AFC，③

由①②③可知，

平面BFM∥平面AEC，

又BF⊂平面BFM，

∴BF∥平面AEC. 三、探究与拓展

13.已知：如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB，求AD1D1DC的值．

解

如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，

所以点O为A1B的中点．

因为平面BC1D∥平面AB1D1，

且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，

所以BC1∥D1O，

所以D1为线段A1C1的中点，

所以D11C1＝2A1C1. 因为平面BC1D∥平面AB1D1，

且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，

平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，

所以AD1∥DC1.又因为AD∥D1C1，

所以四边形ADC1D1是平行四边形，

所以AD＝C11AD1D1＝2A1C1＝2AC，所以DC＝1.