3.3.1 两条直线的交点坐标教学设计思路

直线与方程

1．平面直角坐标系中的基本公式

(1)数轴上A，B两点的距离：数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离|AB|＝____________．

(2)平面直角坐标系中的基本公式：

①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为

d(A，B)＝|AB|＝_____________________．

②线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则

x＝

，y＝

.

2．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴____________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．

(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k＝______(α≠______)．当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．

(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝

．

3．直线方程的几种形式

(1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的____________叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的____________叫做直线l在y轴上的截距．

注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．

(2)直线方程的五种形式：

名称

方程

适用范围

点斜式

①

k存在

斜截式

②

k存在

两点式

③

④

截距式

⑤

a≠0且b≠0 一般式

⑥

平面直角坐标系内的所有直线

注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例．

(3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程

①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为____________；

②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为____________；

③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为____________；

④若x1≠x2，且y1＝y2＝0，直线即为x轴，方程为____________．

自查自纠：

221．(1)|x2－x1| (2)①(x2－x1)＋(y2－y1)

②x1＋x22

y1＋y22

2．(1)正向

平行

重合

0°≤α<180°

(2)正切值

tanα

90°

＝

>

<

90°

(3)y2－y1x

2－x13．(1)横坐标a

纵坐标b

不是

(2)①y－y0＝k(x－x0) ②y＝kx＋b

③y－y1yy＝x－x1

④x1≠x2且y1≠y2

2－1x2－x1⑤xa＋yb＝1 ⑥Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 点斜式

两点式

(3)①x＝x1

②y＝y1

③x＝0 ④y＝0

直线xtanπ3＋y＋2＝0的倾斜角α是(

) A.ππ2ππ3 B.6 C.3 D．－3

解：由已知可得tanα＝－tanπ3＝－3，因为α∈[0，π)，所以α＝2π3.故选C.

直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是(

) A.333 B.3 C．－3 D．－3

解：由题意得直线l的斜率k＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33，所以直线l的斜率为33.故选A.

过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距2倍的直线方程是(

) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 解：当直线过原点时所求方程为2x－5y＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为xa＋y2a＝1，由该直线过点(5，2)即可解得a＝6，对应方程为x6＋y12＝1，即2x＋y－12＝0.故选B.

斜率为2的直线经过A(3，5)，B(a，7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为____________和____________．

解：由已知得k7－5AB＝a－3＝2，解得a＝4； kb－5AC＝－1－3＝2，解得b＝－3.故填4；－3.

若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈ππ4∪2π6，3，π，则k的取值范围是____________．

解：因为k＝tanα，α∈ππ2π6，4∪3，π，

所以－3≤k<0或33≤k≤1.故填[－3，0)∪33，1.

类型一

直线的倾斜角和斜率

(1)经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为____________，____________．

解：如图所示，为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角；k＝0时，α＝0；k>0时，α为锐角．

又k－2－（－1）PA＝1－0＝－1，

k1－（－1）PB＝2－0＝1，所以－1≤k≤1.

又当0≤k≤1时，0≤α≤π4；

当－1≤k<0时，3π4≤α<π.

故倾斜角α的取值范围为α∈π0，4∪3π4，π.故填[－1，1]；0，π4∪3π4，π.

(2)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，则直线l1的斜率k1＝________，直线l2的斜率k2＝________．

解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l30°＝31的斜率k1＝tanα1＝tan3，直线l2的斜率k2＝tanα2＝tan120°＝－3.故填33；－3.

点拨：

①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k＝tanα联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k＝y2－y1x时，注意同一直2－x1线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x＝x1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tanα＝k＝y2－y1x－x转化，其中21倾斜角α∈[0，π)，此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题．

(1)(2016·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是

(

) A.0，π4 B.3π4，π

C.0，ππ4∪2，π D.ππ3π4，2∪4，π

解：依题意，直线的斜率k＝－1a2＋1∈[－1，0)，因此其倾斜角的取值范围是3π4，π.故选B.

(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为 P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是____________．

解：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，k3QA＝2，kPA＝－2，k1113l＝－m，所以－m≤－2或－m≥2，

解得0＜m≤12或－23≤m＜0；

当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．所以实数m的取值范围为21－3，2.故填－213，2.

类型二

求直线方程

根据所给条件求直线的方程．

(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；

(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；

(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在，

设倾斜角为α，则sinα＝1010(α∈[0，π))，

从而cosα＝±310110，则k＝tanα＝±3.

故所求直线的方程为y＝±13(x＋4)，即x±3y＋4＝0.

(2)若截距不为0，设直线的方程为xa＋ya＝1，

因为直线过点(－3，4)，所以－34a＋a＝1，解得a＝1.

此时直线方程为x＋y－1＝0.

若截距为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－3，4)，

有4＝－3k，解得k＝－43，此时直线方程为4x＋3y＝0.

综上，所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋3y＝0.

(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0.

当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)，

即kx－y＋(10－5k)＝0.

由点到直线的距离公式，得|10－5k|1＋k2＝5，解得k＝34.

此时直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 点拨：

本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．

(1)求过点A(1，3)，斜率是直线 y＝－4x的斜率的13的直线方程．

(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．

解：(1)设直线的斜率为k，则k＝－4×13＝－43，又直线经过点A(1，3)，故所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.

(2)当直线不经过原点时，设直线方程为x2a＋ya＝1(a≠0)，将点A(－5，2)代入方程，解得

a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线经过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－225，所以直线方程为y＝－5x，即2x＋5y＝0.综上可知，所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

类型三

直线方程的应用

(1)已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线

l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________．

解：设点A1(x1，y1)与A(4，－1)关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，所以|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝

|PA|.所以|PA|＋|PB|＝ |PA1| ＋|PB|≥|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝ |P0A|＋|P0B|.

当P点运动到P0点时，|PA|＋|PB|取到最小值|A1B|.

因为点A，A1关于直线l对称，所以由对称的充要条件知，

y1＋1x4×1＝－1，1－x

解得x1＝0，

即1＋4y1－1y1＝3，2－2－1＝0，A1(0，3)．

所以(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝82＋（－1）2＝65.故填65.

点拨：

平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A关于l的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据．

(2)直线l过点P(1，4)，且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点．

①当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程；

②若|PA|·|PB|最小，求l的方程．

解：①依题意，l的斜率存在，且斜率为负，

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．

令y＝0，可得A1－4k，0；

令x＝0，可得B(0，4－k)．

|OA|＋|OB|＝441－k＋(4－k)＝5－k＋k

＝5＋－k＋4－k≥5＋4＝9.

所以当且仅当－k＝4－k且k<0，

即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．

这时l的方程为2x＋y－6＝0.

②|PA|·|PB|＝4k22＋16·1＋k

＝41－k＋（－k）≥8(k<0)，

当且仅当1－k＝－k且k<0，

即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．

这时l的方程为x＋y－5＝0.

点拨：

直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．

(1)在等腰直角三角形ABC中， AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(

)

A．2 B．1 C.83 D.43

解：以AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得△ABC的重心D43，43，设P(m，0)，m∈(0，4)，则点P关于直线BC，AC的对称点分别为P1(4， 4－m)，P2(－m，0)，由于D，P1，P2三点共线，

4－（4－4所以kP3m）31D＝kP2D，即4＝，解得3－443＋mm＝43或0.又因为m∈(0，4)，所以m＝43.故选D.

(2)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

①证明：直线l过定点；

②若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

③若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

解：①证明：将直线l的方程变形得k(x＋ 2)＋(1－y)＝0，

令x＋2＝0，x1－y＝0，解得＝－2，

y＝1，所以无论k取何值，直线l过定点(－2，1)．

②当直线l的倾斜角θ∈[0°，90°]时，直线l不经过第四象限，所以k≥0.

③由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0，1＋2k)．

1＋2k依题意得－k<0，解得k>0.

1＋2k>0，因为S＝12·|OA|·|OB| ＝112·＋2kk·|1＋2k| ＝1（1＋2k22·）k

＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，

当且仅当4k＝1k且k>0，即k＝12时等号成立，

所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋ 4＝0.

1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助 k＝tanα的图象(如图)来解决．这里，α∈[0，π)，k的范围是两个不连续的区间．这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在分类进行讨论．

2．直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况．

3．在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单．

4．对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目．在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形．如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A2＋B2≠0而出现增解．

1．下列命题中，正确的是(

) A．直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角是α

B．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα

C．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

D．直线的倾斜角α∈0，ππ2∪2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增

解：因为直线的斜率k＝tanθ，且θ∈[0，π)时，θ才是直线的倾斜角，所以A不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B不对；当α∈0，π2时，斜率大于0；当α∈π2，π时，斜率小于0，C不对．故选D.

2．过点(3，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l倾斜角的大小为(

) A．30° B．60° C．120° D．150°

解：依题意可知圆心坐标为(0，1)，则斜率k＝tanα＝－2－13－0＝－3，所以倾斜角α＝120°.故选C.

3．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是(

)

A．m≠－32

B．m≠0 C．m≠0且m≠1 D．m≠1 解：由2m2＋m－3＝0，m2－m＝0得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．故选D.

4．(2016·银川月考)在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(

) A．3x－y－8＝0 B．3x＋y－10＝0 C．3x－y＝0

D．3x＋y－6＝0 解：因为AO＝AB，所以∠AOB＝∠ABO，即kAB＝－kOA＝－3.所以直线AB的方程为y－ 3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0.故选D.

5．将直线l沿y轴的负方向平移a(a>0)个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l′，此时直线l′与l重合，则直线l′的斜率为(

) A.aa＋1

B．－aa＋1

C.a＋1a

D．－a＋1a

解：设直线l的倾斜角为θ，则根据题意，有tan(π－θ)＝－tanθ＝aa＋1，所以k＝tanθ＝ －aa＋1.故选B.

6．(2015·湖南模拟)过点(1，3)作直线l，若经过点(a，0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的直线l的条数为(

) A．1 B．2 C．3 D．4 解：设直线l的方程为xy1a＋b＝1，由题意得a＋3b＝1，变形得(a－1)(b－3)＝3.

又a∈N*，b∈N*，所以a＝2，或a＝4，b＝6b＝4.故选B.

7．(2016·柳州月考)直线l：(a－2)x＋ (a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点____________．

解：直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋ 6＝0，由x＋y＝0，解得x＝2，y＝－2，－2x＋y＋6＝0，所以直线l恒过定点(2，－2)．故填(2，－2)．

8．(2016·郑州一模)若直线l：xya＋b＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是____________．

解：由直线l：xa＋yb＝1(a>0，b>0)可知直线在x轴上的截距为a，直线在y轴上的截距为b，即求a＋b的最小值．由直线经过点(1，2)得1a＋

2b＝1.因此a＋b＝(a＋b)·12b2aa＋b＝3＋a＋b，因为ba＋2ab≥2b2ab2aa·b＝22(当且仅当a＝b时取等号)，所以a＋b≥3＋22.故填3＋22.

9．(2015·陕西校级期末)分别求满足下列条件的直线方程，并化为一般式．

(1)经过点P(1，－2)，且斜率与直线y＝2x＋3的斜率相同；

(2)经过两点A(0，4)和B(4，0)；

(3)经过点(2，－4)且与直线3x－4y＋5＝0垂直．

解：(1)过点P(1，－2)，斜率与直线y＝ 2x＋3的斜率相同的直线方程是y＋2＝2(x－1)，化为一般式方程为2x－y－4＝0.

(2)过两点A(0，4)和B(4，0)的直线方程是x4＋y4＝1，化为一般式方程为x＋y－4＝0.

(3)设与直线3x－4y＋5＝0垂直的直线方程为4x＋3y＋m＝0，且该直线过点(2，－4)，则有4×2＋3×(－4)＋m＝0，解得m＝4，所以所求的直线方程为4x＋3y＋4＝0.也可直接由点斜式求解．

10．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边上中线AD所在直线的方程；

(3)BC边的垂直平分线DE的方程．

解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，所以由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.

(2)易得BC边的中点D的坐标为(0，2)，

因为BC边的中线AD过点A(－3，0)，D(0，2)两点，所以由截距式得AD所在直线方程为

x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0.

(3)由(1)知，直线BC的斜率k11＝－2，

则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.

由(2)知，点D的坐标为(0，2)．

由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.

11．已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

解法一：设直线l的方程为xa＋y

b＝1(a>0，b>0)，将点P(3，2)代入得3a＋26b＝1≥2ab，得ab≥24，从而S132△AOB＝2ab≥12，当且仅当a＝b时等号成立，这时k＝－b2a＝－3，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

解法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0，

可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，

则A23－k，0，B(0，2－3k)，

S12△ABO＝2(2－3k)3－k

＝112＋（－9k）＋41（－9k）·42－k≥212＋2－k

＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23时，等号成立．

所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

已知△ABC中，顶点A(4，5)，点B在直线l：2x－y＋2＝0上，点C在x轴上，求△ABC周长的最小值．

解：设点A关于直线l：2x－y＋2＝0的对称点为A1(x1，y1)，点A关于x轴的对称点为A2(x2，y2)，连接A1A2交l于点B，交x轴于点C，则此时△ABC的周长取最小值，且最小值为|A1A2|.

因为A1与A关于直线l：2x－y＋2＝0对称，

y1－5×所以x－42＝－1，12×x4y

1＋1＋52－2＋2＝0，解得x1＝0，所以A1(0，7)．易求得A2(4y，1＝7.－5)，

所以△ABC周长的最小值为|A1A2|＝（4－0）2＋（－5－7）2＝410.