3.2.2 直线的两点式方程特级教师教学实录

3.2.2

直线的两点式方程

学校:井研中学

教师:游红君

.【学情分析】

1.学习内容方面

在初中，学生学了一点平面几何的知识，那时他们还仅限于图形的处理。到了高中从《直线与方程》、《圆与方程》到选修1-1《圆锥曲线》这三章他们开始接触解析几何。解析几何的本质就是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在《直线与方程》这一章中，以平面直角坐标系为平台，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等。

从几何直观到代数表示 （建立直线的方程），从代数表示到几何直观 （通过方程研究几何性质）

，

直线的方程起了一个“桥梁”的作用。直线的方程重要性不言而喻了。

2.两点式本身的优点分析

直线的两点式体现了“两点确定一条直线”这一朴素的数学理念；两点式方程起着承上启下的作用，它保持了知识的完整性和系统性，在思想与方法层面上，对学生分析问题解决问题的能力的培养有好处；两点式方程的表达式工整，结构优美。 3. 学生方面

学生方面，我教班级是文科平行班，大部分学生基础略差，学生在学习态度、学习习惯、知识结构、数学能力等方面相对薄弱。

本节课是在学生学习完直线的点斜式方程之后，学生已经建立了两种具体的直线方程：点斜式、斜截式的概念及会应用它们求直线方程，并对直线方程、方程直线的概念有了一定的理解和认识，已形成了一定的认知结构。另外对于纵截距的概念在直线的截距式方程时也已经明确清晰，所以对本节课的学习，学生应该具备了一定的认知和实践能力的条件。但由于部分学生观察、类比、迁移、计算等方面能力的薄弱，可能在两点式方程形式的导出、综合性应用的问题上会有一定难度。

【教学目标】

1、知识与技能

（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；

（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

（1）让学生经历直线的两点式方程的发现过程，提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力。

基础上获得新结论，达到温故知新的目的。然后由特殊到一般的推广，使学生很轻松的就理解两点式方程的推导。

探究点一

直线的两点式方程

已知直线l经过p1(x1,y1),p2(x2,y2),且x1x2,y1y2,求直线l的方程

y2y1解：由斜率公式可得：kx2x1由点斜式方程得：yy1（y2y1）(xx1)x2x1yyxx11变形得：yx2y12x1

记忆特点：左边全为y，右边全为x。分母为常数。减号后面的数相同注意：两点式不表示与坐标轴平行或重合的直线

若点P中有x1x2，或y1y2，此时这两点的直线方程是什1(x1,x2),P2(x2,y2)么？

设计意图：使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。

巩固练习

（）p（）的直线方程

12,320,3例2：求过点p通过练习及时巩固两点式方程，加深对知识点的理解及公式的灵活运用。

探究点二

直线的截距式方程

例3：已知直线1经过两点A(a，0)，B(0，b)其中ab≠0，求直线l的方程。

解：由已知和两点式方程得：

y0xa即booa

xy1(a0,b0)ab

注意：a叫做直线在

x 轴上的截距（横截距）

b叫做直线在

y 轴上的截距（纵截距）

左边是“+”号连接，右边为1 设计意图：使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。

任意直线都可以用截距式方程表示吗?有没有局限性? 如果截距为零或没有截距的直线就不能表示为截距式了。截距是直线与两坐标轴交点的坐标，而不是距离。直线截距为0，说明过坐标原点，由y=kx就可以求了。

跟踪训练

1.在x,y轴上的截距分别为3,4的直线方程是

（

xyxyxyxy1D.1C.A.1B.134343443

）

xy2.直线221ab0在y轴上的截距是abA.a

2

（

）

B.b2

C.a

D.b

2xy3.直线1过第一，三，四象限，则ab

（

）

A.a0,b0

B.a0,b0

C.a0,b0

D.a0,b0

4.直线2xy80在x轴上的截距是______在y轴上的截距是________设计意图：通过练习巩固截距式方程的形式，加强对公式的理解。

变式训练

求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程。

方法一

xy解：设直线的截距式方程为：1(a0)aa

121a3aa

所以过点（1,2）的直线方程为：xy30

若a0,则直线过原点，可设直线方程为ykx

代入点（1,2），则k2

所以直线方程为y2x

方法二

由于直线l在两坐标轴上有截距，因此直线l不与x轴垂直，且斜率不为0，因此可设直线方程为y2k(x1)2所以直线在x轴上截距是1-,在y轴上截距是2kk2所以12kk2k20k2或k1k所以直线方程为2xy0或xy30设计意图：通过不同方法体现截距式方程所带来的好处，进一步加强截距式方程的理解。

III 课后小结

增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。

IV 课后反思

（1）两点式方程的教学，由具体事例引入，再推广到一般情形，让学生经历知识的形成过程。

（2）变教师讲两点式方程的导出为学生讲，教师再采取追问的方式，深入挖掘内涵，使学生透过现象看到了本质。

（3）注重了数学思想和方法的教学，数学思想是灵魂，数学方法是解决问题的手段。使方程思想、数形结合思想、分类讨论思想贯穿了本节课的始终。

V 作业

优化方案p131,p132

VI 板书设计

3.2.2 直线的两点式方程

①直线的两点式的推导

②例3：直线的截距式的推导

注意事项：

注意事项：

例2

跟踪训练

例4