2.2.4 平面与平面平行的性质优秀教案案例

2.2.2 平面与平面平行的判定

三台中学 刘剑

学习目标

1．理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性．

2．能利用判定定理解决有关面面平行问题. 教学方式：探究式（通过学生观察长方体相对两个平面的位置关系，感受面面平行并总结出面面平行的条件）

基础知识

平面与平面平行的判定定理

文字语言

图形

语言

符号语言

作用

归纳总结

平面与平面平行的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面平行来证明平面与平面平行．通常我们将其记为：线面平行，则面面平行．因此处理面面平行(即空间问题)转化为处理线面平行，进一步转化为处理线线问题来解决．以后要证明平面与平面平行，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面平行即可．

重点、难点

1．理解两个平面平行的判定定理. 剖析：(1)判定定理中一定是两条相交直线都平行于另一个平面．

(2)判定两个平面平行需同时满足5个条件：aα，bα，a∩b＝A，a∥β，b∥β. (3)定理将平面与平面平行的问题转化成了直线与平面平行的问题．

2．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，这两个平面不一定平行. 剖析：可通过反例，明确平面与平面平行的判定定理的使用条件．

例如，如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，在平面ABCD中作EF∥AD交CD于F，用同样的方法可以在平面ABCD中作出无数条与AD平行的直线．很aβ，bβ，________，a∥α，b∥αα∥β

证明两个平面____ 一个平面内的两条____直线与另一个平面____，则这两个平面平行

明显，EF⊄平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，又AD∥EF，则EF∥平面ADD1A1.同理，在平面ABCD内所作的无数条直线均平行于平面ADD1A1，但平面ADD1A1与平面ABCD相交于直线AD，所以，一个平面内有无数条直线平行于另一个平面时，这两个平面不一定平行．因此面面平行的判定定理有三个条件：(1)平面β内的两条直线a，b；(2)直线a，b相交；(3)直线a，b都平行于平面α.这三个条件都具备才能确定α∥β，本例中不满足条件(2)．

典型例题

题型一：证明两个平面平行

例1

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，D1C1的中点．

求证：平面MNP∥平面A1BD.

反思：判定平面与平面平行的常用方法有：

①根据定义：证明两个平面没有公共点，通常要采用反证法．

②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．

判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面平行，若找不到再作辅助线．

题型二：易错辨析

易错点

证明面面平行不严密

例2

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AA1，BB1，CC1，DD1的中点，求证：平面EG∥平面AC.

错解：∵E，F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面AC，AB平面AC，

∴EF∥平面AC，同理可证，HG∥平面AC.又EF平面EG，HG平面EG，

∴平面EG∥平面AC. 错因分析：错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确．

反思：利用面面平行的判定定理证明两平面个平行时，所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则证明不正确．

随堂练习

1．点P是平面α外一点，过点P且平行于平面α的平面有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．无数个

2．平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α与平面β的位置关系是________．

3．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB. 其中正确的有__________．

4．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.