复习参考题多媒体教学设计及其点评

立体几何基础知识与典型例题

一、基本公式

1、圆柱的侧面积公式：

2、圆柱的表面积公式：

3、圆锥的侧面积公式：

4、圆锥的表面积公式：

5、圆台的侧面积公式：

6、圆台的表面积公式：

7、球的表面积公式：

8、柱体的体积公式: 9、锥体的体积公式：

10、台体的体积公式：

11、球的体积公式：

12、扇形面积公式：

二、平面及空间直线

1.平面的基本性质: (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上都在这个平面内

公理2：经过三点有且只有一个平面．

推论1：经过一条直线和一点有且只有一个平面. 推论2：经过两条直线有且只有一个平面．

推论3；经过两条直线有且只有一个平面

公理3：如果两个平面有一个公共点,那么它们就有且只有一条直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线; 2.用斜二测画法的结论：原图与直观图面积的关系是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．S原S直，．S直S原

3.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角 .

4.

空间两条直线位置关系有：

.

异面直线是既不又不的直线

5.两条异面直线所成的角(或夹角)：对于两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a∥a,b∥b，则a与b所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直.异面直线所成的角的范围是．

三、直线与平面的位置关系

1、直线和平面的位置关系有：、、

2、直线与平面相交和直线与平面平行统称为.

3、直线与平面平行的判定：

（1）判定定理：一个平面的一条直线与这个平面的一条直线平行,则此直线和这个平面平行. 即

a,b

a//ba//（2）//aa//

（3）abbal

（4）a//aa//

a//l4、直线与平面平行的性质：

（1）直线和平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则经过这条直线的平面与此平面的交线和这条直线. 即（用符号语言来表示）：. //

（2）ab

5、直线与平面垂直的判定：

（1）定义：如果一条直线垂直与一个平面内的，则称这条直线与这个平面垂直. （2）判定定理：一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于此平面. 即（用符号语言来表示）：. （3）a//bb

（4）laal//

(5)a

6、直线与平面垂直的性质：

（1）性质定理：垂直于同一平面的两条直线

aa

（2）b

（3）b//a



//

（4）a

（5）

（6）

aaa四、平面与平面的位置关系

1、平面与平面的位置关系有：、. 2、平面与平面的平行判定

（1）判定定理：一个平面内的有两条直线分别平行于另一个平面，则这两个平面. 即（用符号语言来表示）：.

(2)a

3、平面与平面的平行的性质

（1）性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，则交线

即（用符号语言来表示）：. a//

（4）a

//////（4）

（5）

（6）a//

a//a//

(7)//

//（2）a

（3）//ab4、平面与平面垂直的判定

(1)定义：如果两个平面相交所成的角是，就称这两个平面垂直（此法较常用）

(2)判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面.

即（用符号语言来表示）：.

(3)a//

五、空间角的求法：一找（作）二证三计算

1、线线角：关键是将它们平移成两条相交直线

2、线面角：（1）过斜足以外的点作平面的垂线（此时一定要关注面面垂直，便于利用其性质确定垂足的位置）找出斜线在平面内的射影，进而找出线面角；

（2）等积法：即利用等积法求出斜足以外的某点到平面的距离h1，再求出该

点与斜足的距离h2,最后利用sinah1求得线面角. h2

3、面面角：（1）图中存在，直接证出二面角的平面角；

（2）关注共底边的等腰三角形，取底边的中点，连接中线得高，进而得出二面角的平面角；

（3）已知二面角其中一个面内一点P作另一个面的垂线，再过垂足Q作棱的垂线，最后连接P与棱上的垂足，可证出二面角的平面角；

（4）两个半平面内方便作出棱的垂线，但垂足不重合，这种只需将其中一条平移至与另一条的垂足处; (5)等积法；（6）射影面积公式法. 六、常用结论：

1、垂直于同一直线的两条直线：

2、与同一直线成等角的两条直线： 3、与同一平面成等角的两条直线：

4、垂直于同一平面的两个平面：

5、垂直于同一直线的两个平面：

6、垂直于同一平面的两条直线：

7、三角形ABC所在平面外一点P到三顶点的距离相等，则点P在平面ABC上的射影是三角形ABC的心；

8、三角形ABC所在平面外一点P到三边的距离相等，则点P在平面ABC上的射影是三角形ABC的心.

七、典型例题

考点一

证明空间线面平行与垂直

例题1. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；

（II）求证：AC 1//平面CDB1；

解（：I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴

AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴

AC⊥BC1；

（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵

D是AB的中点，E是BC1的中点，∴

DE//AC1，∵

DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴

AC1//平面CDB1；

点评：平行问题的转化：

转化

面面平行线面平行转化

线线平行；

主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．

例题2.

如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,O为BD1的中点,M为BC的中点,N为AB的中点，P为BB1的中点.

（I）求证：BD1B1C；

（II）求证BD1平面MNP；

（III）求异面直线B1O与C1M所成角的大小.

分析：本小题考查直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力. 解：（I）连结BC1

由正方体的性质得BC1是BD1在

平面BCC1B1内的射影

且B1CBC1，

所以BD1B1C

(II)又MNPMM，

BD1平面MNP.

（III）延长CB到Q,使BQBM,连结B1Q,OQ

则QM//C1B1,且QMC1B1.

B1Q//C1M.OB1Q是异面直线B1O与C1M所成的角.

由于正方体的棱长为2，

则B1O3,B1QB1B2BQ25,设底面ABCD的中点为O1,

可求得OQOO12O1Q26.cosOB1Q(3)2(5)2(6)22351515

即异面直线B1O与C1M所成角的大小为arccos15.

15点评：证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直即可.这些从本题证法中都能十分明显地体现出来

考点三

求空间图形中的角与距离

根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法

另也可借助空间向量求这三种角的大小. 例题3.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=1，AD=DC=3.

（1）求直线A1C与D1C1所成角的正切值；

（2）在线段A1C上有一点Q，且C1Q=大小.

分析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，向量法办 1C1A1，求平面QDC与平面A1DC所成锐二面角的3解法一：（I）C1D1//CD,

A1CD为异面直线A1C与D1C1所成的角

连A1D，在Rt△A1DC中，CD=3，A1D=2，

tanA1CD23.

3

（II）过Q作EF（在平面A1C1内）使EF//A1B1，

EF//CD

连B1C、CF、DF，（面EFCD即平面QDC；面A1B1CD即平面A1DC）

DC面BCC1B1,DCB1C,DCCF,CFCQ11C1QC1A1,C1QF~A1QE,11. 3A1EQA12B1CF即为二面角A1—DC—Q的平面角.

C1F

32323,B1F.又B1C2,CFCC12C1F2,333

22CBCFB1F3在B1CF中,cosB1CF1,2CB1CF2

B1CF30，即所求二面角大小为30°

点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.

本章强化训练

一、选择题(共18小题)

1.下列说法正确的是(

)

A．

三点可以确定一个平面

B．

一条直线和一个点可以确定一个平面

C．

四边形是平面图形

D．

两条相交直线可以确定一个平面

2.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(

)

A．

π

B．

π

C．

D．

3.已知若干个正方体小木块堆放在一起形成的组合体的三视图如图所示，则所需小木块最少的个数是(

)

A．

7个

B．

8个

C．

9个

D．

10个

4.对于一组对边平行于x轴的平行四边形，采用斜二测画法做出其直观图，其直观图面积是原图形面积的(

)

A．

倍

B．

倍

C．

2倍

D．

倍

5.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为(

)

A．B．

＋C．

＋

D．

＋2

6.已知a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，则α、β的位置关系是(

)

A．

相交

B．

平行

C．

重合

D．

不能确定

7.用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面的哪几种(

)

①棱柱

②棱锥

③棱台

④圆柱

⑤圆锥

⑥圆台

⑦球

A．

①②⑤⑥

B．

②③④⑤

C．

①②③⑤

D．

③④⑤⑥

8.长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于(

)

A．

30°

B．

45°

C．

60°

D．

90°

9.空间两直线l，m在平面α，β上射影分别为a1，b1和a2，b2，若a1∥b1，a2与b2交于一点，则l和m的位置关系为(

)

A．

一定异面

B．

一定平行

C．

异面或相交

D．

平行或异面

10.在空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面(

)

A．

必定4个

B．

4个或1个

C．

3个或1个

D．

1个、3个、4个都有可能

11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A．

2

B．

C．

4

D．

5

12.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是

，

，

，则这个长方体对角线的长是(

)

A．

2

B．

3

C．

6

D．

13.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的

(

)

A．

B．

C．

D．

14.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(

)

A．

6

B．

8

C．

2＋3

D．

2＋2

15.如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是(

)

A．

2

B．

4

C．

4

D．

8

16.三个平面两两相交，只有一条公共直线，这三个平面把空间分成(

)部分．

A．

5

B．

6

C．

7

D．

8

17.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于(

)

A．

15°

B．

30°

C．

75°

D．

15°

或75°18.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定(

)

A．

在直线DB上

B．

在直线AB上

C．

在直线CB上

D．

都不对

二、填空题(共13小题)

19.已知圆柱的高为h，底面半径为R，轴截面为矩形A1ABB1，在母线AA1上有一点P，且PA＝a，在母线BB1上取一点Q，使B1Q＝b，则圆柱侧面上P、Q两点的最短距离为____________________．

20.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝______.

21.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．

22.一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为2a的正三角形，俯视图是边长为a的正六边形，则该几何体侧视图的面积是________．

23.空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.

24.如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于________．

25.已知正四棱锥的底面边长是4 cm，侧棱长是2

cm，则此四棱锥的高为________cm.

26.已知一个棱长为6 cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5 cm的钢球，则球心到盒底的距离为________cm.

27.如图，现有一圆心角为90°，半径为8 cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥底面圆的半径为____________cm.

28.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积等于_________．

29.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，此时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．

30.已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是________．

31.已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR＝________.

三、解答题(共25小题)

32.如图所示，在直棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝

，P是BC1上一动点，求CP＋PA1的最小值．

33.在三棱锥P－ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，PB＝AB，D，E分别是PA，PC的中点，G，H分别是BD，BE的中点．

求证：(1)GH∥平面ABC；

(2)平面BCD⊥平面PAC.

34.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1，直线B1C与平面ABC成30°角．

(1)求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；

(2)求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．

35.如图所示，E，F，G分别是棱AB，AC，AD上的点，在三棱锥A－BCD中，且满足 ＝ ＝ .求证：△EFG∽△BCD.

36.如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.求梯形OABC的面积．

37.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图甲所示．墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.如图乙、丙所示的分别是该标识墩的正视图和俯视图．

(1)请画出该安全标识墩的侧视图；

(2)求该安全标识墩的体积．

38.如图所示，PA＝PC＝

a，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，求证：

(1)PD⊥平面ABCD；

(2)平面PAC⊥平面PBD；

(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．

39.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A1.

(1)求证：A1D⊥EF；

(2)求三棱锥A1－DEF的体积．

40.如图，∠ABCPA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝

，PA＝

，在四棱锥P－ABCD中，.G为线段PC上的点．

＝120°

(1)证明：BD⊥平面APC；

(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成角的正切值；

(3)若G满足PC⊥平面BGD，求 的值．

41.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，AD＝

，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)求三棱锥B－PAD的体积；

(2)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

(3)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.

42.一个棱台的上、下底面积之比为4∶9，若棱台的高是4 cm，求截得这个棱台的棱锥的高．

43.圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．

44.如图所示，正四棱台ABCD－A′B′C′D′的高是17

cm，两底面的边长分别是4

cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．

45.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离为1，那么这个球的半径为多少？

46.在三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．

47.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2

，PA＝2.求：

(1)三角形PCD的面积；

(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．

48.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果再加上条件AC＝BD，那么四边形EFGH是什么图形？

49.如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.

50.在如图(1)的平面图形中，ABCD为正方形，CDP为等腰直角三角形，E、F、G分别是PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P－ABCD，如图(2)．

求证：在四棱锥P－ABCD中，AP∥平面EFG.

51.如图，在△ABC中，AC＝BC＝

AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平

面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．

(1)求证：GF∥平面ABC；

(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；

(3)求几何体A－DEBC的体积V.

52.如图，已知在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，M为线段PA上一动点，E，F分别是线段BC、CD的中点，EF与AC交于点N.

(1)求证：平面PAC⊥平面MEF；

(2)若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．

53.如图所示，△PAD是正三角形，ABCD是正方形，E，F分别为PC，BD的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求证：平面PAD⊥平面PCD.

54.如图所示，E是AD的中点，在矩形ABCD中，已知AB＝

AD，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.

55.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝1,AA1＝

，求AB1与侧面AC1所成的角．

56.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.

(1)求证：AD1⊥平面A1DC；

(2)求MN与平面ABCD所成的角．