信息技术应用 图形技术与函数性质教学设计一等奖

信息技术应用、图形技术探索三次函数的性质

[教学目标] 知识与技能：（1）掌握三次函数对称中心的求法；（2）掌握三次函数切线方程的求法；（3）了解过一点作三次函数图像切线条数的结论. 过程与方法：（1）应用导数研究三次函数的方法；（2）由特殊实例猜想一般结论，然后证明的思想；（3）利用函数对称性，多种情形通过分析减少讨论种类. 情感与态度：（1）通过自主深入探究，增强学生学生学习数学的兴趣，独立思考的能力；（2）让学生感数学结论的完整美，数形结合的统一美. [教学重点]三次函数图像的对称中心、切线条数的探究，三次函数切线方程的求法. [教学难点]特殊到一般的归纳方法，切线条数的判断方法. [教学方法]探究式教学. [教学手段]多媒体辅助教学. [教学过程] 1 三次函数图像的对称性

1.1 创设情景，提出问题

三次函数f(x)x3是奇函数，它的图像的对称中心是(0,0)（几何画板展示），那么一般的三次函数是否有对称中心呢？

观察函数g(x)x33x22x1的图像（几何画板展示），它也有对称中心（1，1），那么怎样求三次函数的对称中心？

1.2 回归通法，探究发现

研究三次函数我们最常用的就是通过研究其导函数来研究它本身，我们分别画出f(x),g(x)的导函数图像（几何画板展示），和原函数的对称性联系起来，通过归纳得到，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同. 1.3 追根索源，理解本质

为什么会有这样的结论？因为三次函数在两个相互对称的点处的切线是平行的（几何画板展示），所以对于任意三次函数f(x)axbxcxd(a0)，它的图像有唯一的对称中心(32bb,f()).①

3a3a2 过一点作三次函数图像切线条数的探究

2.1 因势利导，引出问题

三次函数过对称中心(bb,f())的切线是如何的？通过实例来探3a3a32究.g(x)x3x2x1在对称中心（1，1）处的切线方程为xy20，这和我们以前形成的切线的印象不同，但它就是三次函数的切线，因为它符合切线的定义.我们注意这样的切线只有一条，那么当这一点在别的地方，切线有多少条？

2.2 恰当分类，实例探索

因为三次函数是中心对称图形,因此对称部分的情形应该是一样的，过对称中心的切线和三次函数的图像把平面分成四部分，所以上下是一种情形，左右是一种情形，三次函数图

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像上的点（除对称中心）是一种情形，过对称中心的切线上的点（除对称中心）是一种情形.我们选择三次函数g(x)x33x22x1为例来探究.先选右边的点(3,0)，设切点，列方程，有多少条切线，对应有多少个切点，对应方程有多少个根.对于三次方程，有少个根，对应它的图像与x轴有多少个交点，可应用导数分析.其他情形，让学生分组计算，讨论作答. 2.3 归纳总结，得到结论

设三次函数图像C在其对称中心处的切线为l，M是三次函数图像所在平面上的一点，则

（1）过点M能且仅能作C的一条切线，当且仅当点M位于C和l所夹的上下两个区域内（边界除外），或点M与点N重合. （2）过点M能且仅能作C的两条切线，当且仅当点M位于C或l上（点N除外）. （3）过点M能且仅能作C的三条切线，当且仅当点M位于C和l所夹的左右两个区域内（边界除外）.②

根据三次函数首项系数的正负画出相应的示意图如下：

3 小结

知识点1

对称中心，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同. 知识点2

切线条数，用图表示. 数学思想方法

数形结合，特殊与一般，化归转化. 4 思考

（1）对称中心我们是通过观察导图像得到的，对于对称问题，我们在函数中讲到了很多，你能用其他方法求三次函数图像的对称中心吗？

（2）过一点作三次函数图像切线条数的结论，我们是通过具体例子归纳得到的，你能给出对一般函数f(x)axbxcxd(a0)的证明吗？

5 作业

32设f(x)axbxcx的极小值为2，其导函数yf(x)的图像是经过点32(1,0),(1,开口向上的抛物线0). （1）求f(x)的解析式; （2）若过点(1,m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

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