3.1.1 空间向量及其加减运算优质教案设计

3.1.1空间向量及其加减运算

教学目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

教学重点：空间向量的加减运算及运算律．

教学难点：由平面向量类比学习空间向量．

教学过程：

一、

复习引入：

平面向量有关概念：

名称

平面向量

定义

在平面中，具有______和______的量叫做空间向量，其大小叫做向量的______或____. 平面向量的表示

平面向量可以用____________表示，也可以用__________________表示；

单位向量

零向量

相等向量

相反向量

长度或模为__的向量

________的向量

方向______且模______的向量

______相反且____相等的向量

二．新课讲授

1．空间向量的概念. 名称

定义

在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，其大小叫做向量的______或____. 空间向量

空间向量的表示

空间向量可以用____________表示，也可以用__________________表示；

单位向量

零向量

相等向量

相反向量

长度或模为__的向量

________的向量

方向______且模______的向量

______相反且____相等的向量

思考：(1)零向量与零是同一概念吗？

_______________________________________________________________________; (2)空间任意两个向量是否可能异面？

→

讨论：相等向量？

同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

→

讨论：空间任意两个向量是否共面？

2. 空间向量的加法、减法的定义与平面向量的运算一样：

- 1 -

→→→OB＝OA＋AB＝________；

，

ABOBOA＝________.（指向被减向量）思考:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由

起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．（如右图所示）：

A1A2+A2A3++An-1An=________;

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

A1A2A2A3A3A4

An1AnAnA1______;；

3. 空间向量的加法的运算律．

r

⑴加法交换律：a

+b

= b

+ a；

®⑵加法结合律：(a

+ b) +

=a+ (b

+ c

)；

典例精析：

例1如图所示，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．

- 2 -

(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量．

→→(3)试写出与AB相等的所有向量．(4)试写出AA1的相反向量．

解析：

规律总结：(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．

(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．

变式1：下列说法中正确的是(

) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|

C．空间向量的减法满足结合律

→→→D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC

例2

空间向量的加减运算

如图，已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，化简下列表达式．

→→--→--→→→→→→(1)AB＋BB′－D′A′＋D′D－BC；(2)AC′－AC＋AD－AA′. 解析：

- 3 -

规律总结：

(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．

(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．

变式2．如图，在直三棱柱→＝a，→→1＝c，则ABC－A1B1C1中，若CACB＝b，CC-A→1B＝________.

课堂小结：1.空间向量的加法符合交换律，结合律. 2.平面向量与空间向量.

空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. 巩固提升：

1.下列说法中正确的是(

) A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律

D.在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC

2．判断下列说法是否正确：

（1）零向量没有方向

(

)

(2)零向量的方向不确定，所以任何两个零向量不相等

（

）

（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量（

）

（4）相等的向量，若起点不同，则终点一定不同

（

）

(5)对于空间任意两个向量，它们可能共面，也可能异面

（

）

3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式DD1ABBC化简后的结果是（

）

A. BD1 B.D1B C．B1D D.DB1

→→→→4. 如图所示

a，b是两个空间向量，则AC与A′C′与A′C′是________向量，AB与B′A′是________向量．

- 4 -

3.1.2空间向量及其加减运算

制作：王志刚

审核：贾秋福

学习目标

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

复习引入

参照平面向量思考，空间向量中，数乘向量的定义，运算律，共线向量定理还成立吗？

讲授新课：

1．空间向量的数乘运算

(1) 数乘向量：

结果

λ的范围

λ>0 λ=0 λ<0 实数λ与空间向量a的乘积是一个_____ 方向关系

方向_____ λa=0,其方向是任意的

方向_____ λa的模是a的模的_______ 模的关系

(2)运算律:①分配律:λ(a+b)=________; ②结合律:λ(μa)=________. 2．空间向量的共线

问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？

新知：（1）空间向量的共线：如果表示空间向量的

所在的直线互相

或

，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.

[来源学。科。网Z。X。X。K](2) 空间向量共线：

定理：对空间任意两个向量a,b（b0），

a//b的充要条件是存在唯一实数，使得

推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是

试试：已知ABa5b,BC2a8b,

CD3ab

，求证: A,B,C三点共线.

反思：充分理解两个向量a,b共线向量的充要条件中的b0，注意零向量与任何向量共线.

3.空间向量的共面

问题：空间任意两个向量不共线的两个向量a,b有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？

新知：(1)共面向量：

同一平面的向量.

(2). 空间向量共面：

- 5 - 

定理：对空间两个不共线向量a,b，向量p与向量a,b共面的充要条件是存在

，

使得

.

推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：

⑴

存在

，使

⑵

对空间任意一点O，有

111试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OPOAOBOC,则236点P与

A,B,C共面吗？

反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OPxOAyOBzOC,且点P与

A,B,C共面，则xyz

.

典例精析：

例1：

化简：

1．（1）

5（3a2b）+4（2b3a）；⑵

6a3bcabc. [来源学。科。网

2．(2014·上海高二检测)已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点E是A′C′的中点,点F是AE的三等分点,且AF=EF,则等于

(

)

- 6 -

11A.AA＋AB＋AD22111B.AA＋AB＋AD222111C.AA＋AB＋AD266111D.AA＋AB＋AD366解析：

变式1：如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交→→→→点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是

(

) 11111111A．－a＋b＋c B. a＋b＋c C. a－b＋c D．－a－b＋c

22222222

例2.　如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上

- 7 -

→→→→12变式2：已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由OP＝OA＋OB＋λOC确53定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝__________. 课堂小结：

1。运用空间向量解决立体几何中的问题．

2．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论．

巩固提升：

1．下列命题中正确的个数是(

) ①若

a

与b共线，

b与

c共线，则a与c共线；

②向量

a, b

, c共面即它们所在的直线共面；

③若

a∥

b

，则存在惟一的实数λ，使

a

＝λb. A．1

B．2

C．3

D．0

2．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(

) →→→→→→→→®A.OM＝3OA－2OB－OC

B．OM＋OA＋OB＋OC＝0

→→→®→→→→11C．

MA＋MB＋MC＝0

D．OM＝OB－OA＋OC

423．已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑵ABADAA'；

(3)⑴ABBC；ABAD

- 8 - ®®®®®®®®®®®®®11

CC'；

⑷(ABADAA')．23

变式1：如图所示，已知平行六面

ABCD—A1B1C1D1，

M为A1C1与B1D的交点，化简下列向量表达式．

（1）AA1

+A1B1；

（3）AA1+ （2）11A1B1+ A1D1；

221A1B1+A1D1；

2（4）AB+BC+CC1+C1A1+A1A

变式2：已知长方体ABCD—A′B′C′D′,化简下列向量表达式:

(1)AA'CB; (2)

三．课堂练习：

AB'B'C'C'D'

→5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简向量表达式AB+ CD+ BCDA的结果为________．

6．如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB→→→→→→的中点，请化简

（1）AB＋BC＋CD，（2）AB＋GD＋EC，并标出化简结果的向量．

四．板书设计

五．课后反思

- 9 -



⑶数乘分配律：λ(a

+ b)

=λa

+λb；



⑶数乘结合律：λ(ua)

=(λu)a

．

1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a、b等表示；

用有向线段的起点与终点字母：AB．长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减运算：

向量的加法：

向量的减法：

r

- 10 -