1.2.1 充分条件与必要条件教案教学设计导入设计

《充分条件与必要条件》教学设计

辽宁省建昌县高级中学

王丽

1.2 充分条件与必要条件 一、教学目标 1.知识与技能：正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条充要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．

2.过程与方法： 充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生现问题的能力，通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力；学会观察，敢于归纳，关于建构；充分培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。 3.情感、态度与价值观： 通过“pq”与“qp”的判断，感受对立，统一的思想，培养辩证唯物主义观；通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学习的兴趣；通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。

二、教学重点与难点 1.重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念。

2.难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

3关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

三、教学过程

导入：反证法

证明：圆的两条

不是直径的相交弦不能互相平分. 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.

求证：弦AB、CD不被P平分. 分析：假设弦AB、CD被P平分，连接OP后，可以推出AB、CD都与OP垂直，则出现矛盾. 证明:

假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾. 所以，弦AB、CD不被P平分. 思考：

1.用反证法证明：若函数f(x)在区间［a,b］上是增函数，那么方程f(x)=0在区间［a,b］上至多只有一个实根. AOPDBC

2.设UR，集合Axx4ax4a30,xR,22Cxx2ax2a0,xR.22Bxx(a1)xa0,xR,若A，B，C中至少有一个不是空集，求实数a的取值范围.答案：3 a或a1.2

一般以下几种情况适宜使用反证法

（1）结论本身是以否定形式出现的一类命题；

（2）有关结论是以“至多”，或“至少”的形式出现的一类命题；

（3）关于唯一性、存在性的命题；

（4）结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题（正难则反）. 充分条件与必要条件

定义

充分条件与必要条件：一般地，如果已知

pq

，

即命题“若p则q”

为真命题，那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．

2x1是x1的充分条件x1x1

2x21是x1的必要条件

两三角形全等



两三角形面积相等

两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．

例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件.

(1)p:aQ;q:aR.(2)p:x20;q:(x3)(x2)0.(3)p:xy0;q:x0.(4)p:两个角相等;q:两个角是对顶角.(5)p:x是4的倍数;q:x是6的倍数.(6)p:四边形的对角线平分且相等;q:四边形是平行四边形.(7)p:三角形的三条边相等;q:三角形的三个角相等.定义：

对于命题“若p则q”

1.

若pq,q

p,则p是q的充分不必要条件. q是p的必要不充分条件. 2.若pq,qp,即pq,则p是q充分必要条件，简称充要条件.也说p与q互为充要条件.

若pq,qp,则p是q3.的既充分不必要条件. q是p的既必要不充分条件. 例2、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种填空. 1、利用命题的真假性判定（定义法）

1)"x0,y0"是"xy0"的2）"aN"是"aZ"的3）"x210"是"x10"的4）"同旁内角互补"是"两直线平行"的5)"x5"是"x3"的6)"ab"是"acbc"的7）已知ABC不是直角三角形，"A

答案：(1)充分不必要条件

(2)充分不必要条件

（3）必要不充分条件

（5）充要条件

（5）必要不充分条件

（6）充要条件

（7）既不充分也不必要条件

例3、已知、是不同的两个平面，直线a直线a "tanAtanB"的,命题p:a与b无公共点；命题q,://,则p是q的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B

例4、设命题甲:0x5,命题乙:x23,那么甲是乙的（

）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也必要条件答案：A 例5、设、、为平面，m、n、l为直线，则m一个充分条件是（ ）.A.，

l,ml B.m,,C.,,m

D.n,n,m的答案：D 例6、已知、为锐角，若p:sinsin(q:,则p是q的（

）.2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件答案：B 2、利用双箭头的传递判定（或称图像法）

),C.充要条件 D.既不充分也不必要条由于逻辑联结符号“”、“”、“”具有传判断所要判断的两个条件之间的依存关系。例7（2004.重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件p是q成立的（

）

Ａ充分非必要条件

Ｂ必要非充分条件

Ｃ充要条件

Ｄ既非充分又非必要条件

答案：A 练习：若p是r的充分不必要条件，r是q的必要

条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件. 则：

1）s是p的什么条件？

必要不充分条件

2）r是q的什么条件？

充要条件

3、充要条件的证明

因此可根据几个条件之间的关系，经过若干次的11例1、已知x、y是非零实数，且xy,求证：xy的充要条件是xy0.注意：分清p与q.p:xy0q:1x1y

证明：充分性(pq)x0x0若xy0,则 或y0y0

11xy当x0,y0时，有：.xy11当x0,y0时，有：.xy

必要性(qp)11yx若,则有：0,即xy(yx)0.xyxyxyyx0xy0.例2、已知ab0,求证：ab1的充要条a3b3aba2b20.实根的充要条件.0k25.3例3、求3x210xk0有两个同号且不

引申：①从命题角度看

㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件，

q是p的必要条件. ㈡若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件. (三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的充要条件。

(四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q的既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必要条件. ②从集合角度看

设：A{x|x满足条件p}B{x|x满足条件q}

1）若AB且BA，则称p是q的充分不必要条件2）若AB且BA，则称p是q的必要不充分条件

1

B

A

且

B不属于

A ，则称p是q的既不充分也不必要条件。

)

3）A

= B 4）若

A不属于

B

2

A

)

4）若AB且BA，既A=B，则称p是q的充要条件

B

A

B

A=B 练习：1. 若p:x2y2,q:xy或xy,则q是p的什么条件.2. 若x,yR,p:(x3)2(y4)20, q:(x3)(y4)0,则p是q的什么条件.3.不等式2x＋57成立的一个必要不充分条件是（）A. x1 B. x－6 C.x1或x－6 D.x0或x0

练习：4.是否存在实数p,使得4xp0是x2x20的充分条件?如果存在，求出p的取值范围；否则说明理由5.已知Mx(xa)21,Nxx25x240,,求a的取值范围

若N是M的必要条件常用正面叙述词及它的否定. 正面词语

否定词语

等于

不等于

小于

不小于

至少有一个

一个也没有

大于

不大于

至多有N个

至少有N+1个

是

不是

任意的

某个

所有的

某些

都是

不都是

正面词语

至多有一个

否定词语

至少有两个