小结名师教学视频（文字实录）

导数及其应用

一、导数的概念：

1、函数yf(x)在点x0的导数：

yf(x1)f(x0)f(x0x)fxx0f'(x0)xlim1x0xxlim(x0)

10x0x2、导数的几何意义：①函数yf(x)在点x0处的导数f'(x0)，就是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k，即ktanf'(x0)；

②且切点P(x0,y0)在曲线上，同时在切线上。

3、导数在物理中的运用：

①路程ss(t)在点t0处的导数s'(t0)，是物体运动在时刻t0的瞬时速度v，即v(t0)s'(t0)②物体运动在时刻t0的加速度av(t0)；

二、几种常见函数的导数：

①C'0（C为常数）； ②

(xn)'nxn1 ③(sinx)'cosx ④(cosx)'sinx

⑤(ax)'lnaax ⑥(ex)'ex ⑦(lnx)'11x ⑧(logax)'xlna三、导数的运算法则：

①和(差)的导数：[f(x)g(x)]f(x)g(x)；

②积的导数：

[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)；

[cf(x)]cf(x)，（c为常数）

③除法的导数：[f(x)f(x)g(x)g(x)]f(x)g(x)[g(x)]2

④yf(g(x))看成是yf(u)和ug(x)的复合函数.

f(g(x))f(u)g(x)，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

四、导数的运用：

1、函数的单调性：

①设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f'(x)0，则f(x)为增函数；

如果f'(x)0，则f(x)为减函数。

②设函数yf(x)在某区间可导，如果f(x)在该区间上单调递增，则在该区间内f'(x)0；

如果f(x)在该区间上单调递减，则在该区间内f'(x)0恒成立。

2、求可导函数f(x)单调区间的步骤：

①求f(x)的定义域； ②求f'(x)； ③解不等式f'(x)0(或f'(x)0)； ④确认并指出递增区间(或递减区间)；

3、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤：

①求f'(x)； ②确认f'(x)在(a,b)内的符号； ③作出结论 4、函数的极大值与极小值：

函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大(小)值

5、求可导函数的极值的步骤：

①求f(x)的定义域； ②求f'(x)； ③求方程f'(x)0的全部实根；（必须要在定义域内，否则舍去）

④检查f'(x)在方程f'(x)0的根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。（列表检验）

6、函数的最大值与最小值：[来源:Z*xx*k.Com]求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤：

①求f(x)在(a,b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值；

1

五、定积分

n1、定积分的概念：bbaaf(x)dxlimninf(i)

12、定积分的性质：①bakf(x)dxkbaf(x)dx（k为常数）

（定积分的线性性质）

②

bba[f(x)g(x)]dxbaf(x)dxag(x)dx

（定积分的线性性质）

③ bcaf(x)dxf(x)dxbacf(x)dx (acb)（定积分对积分区间的可加性）

3、定积分的几何意义

①当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①所示，则baf(x)dx＝S上．

②当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②所示，则baf(x)dx＝S下．

③当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③所示，则baf(x)dx＝S上S下

图①

图②

图③

4、微积分基本定理

一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么

baf(x)dxF(x)baF(b)F(a)

5、①做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间

[a，b]上的定积分，即sbav(t)dt

②如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b，则变力F(x)做的功WbaF(x)dx.

例1、已知函数f(x)alnxx1bx，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

x2y30，求a、b的值；

(x1由已知得，xlnx)f'(x)(x1)2bx2

由于直线x2y30的斜率为12，且过点(1,1)

故f(1)1b1f'(1)1即a22b1

解得a1，b1. 2

例2、求函数f(x)xex在x0处的切线方程

f(x)exxex(1x)ex

kf(0)1，f(0)0切点为(0,0)

切线方程为y01(x0),即yx

例3、过点(0，－1)且与曲线y＝x2相切的切线方程为___________．

设切点为(x0，x20)，由y＝x2得y′＝2x.

∴2xx20＋10＝x0，解得x01或x01

①当x0＝1时，切点为(1,1)，斜率k＝y′|x＝1＝2. 所求切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. ②当x0＝－1时，切点为(－1,1)，斜率k＝y′|x＝－1＝－2. 所求切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即y＝－2x－1. 综上所述，所求切线方程为y＝2x－1或y＝－2x－1.

例4、若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是

. 2

解：由于f′(x)＝k－1x，

f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．

由于k≥1x，而0<1x<1，所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞)．

例5、已知函数fxax3bx4在点x2处取得极值283.

（Ⅰ）求实数a,b的值；

（Ⅱ）求函数fx的单调区间.

f(2)012ab1（Ⅰ）

fx3ax2b，由题意得0af(2)28，即38a2b428，解得3，3b4经检验知当a13，

b4时，函数fx在x2处取得极值2813，所以a3，

b4.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知fx13x34x4

fxx24，

令f(x)0x2，或x2

由fx0，解得x2或x2，故函数fx在区间,2，

2,上单调递增；

由fx0，解得2x2，故函数fx在区间2,2上单调递减. 所以函数fx的单调递增区间是,2，

2,；

单调递减区间是2,2.

例6、

已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x.讨论f(x)的单调性．

解：

f(x)的定义域为(0,)．f(x)1x2ax(2a)(2x1)(ax1)x

①若a≤0, f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

②若a0，则由f(x)0得x1a，

当x∈0，1a

时，f′(x)＞0，当x＞1a

时，f′(x)＜0. 所以f(x)在0，1a

上单调递增，在

1a，＋∞

上单调递减．

例7、

11(1x2x)dx的值为

.

解：11x2x)dx1211(11xdx1xdx

，

根据定积分的几何意义可知12111xdx等于半径为1的半圆的面积，即11x2dx2，11xdx1212x10

1(1x2x)dx12

例8、曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．

如图，阴影部分的面积即为所求．

由y＝x2，y＝x，

得A(1,1)．

故所求面积为S1(xx2)dx(1x21x3)1023016.

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