反证法教学设计及教案分析

《反证法》教学设计

一、内容与内容分析

1、内容：人教2011课标版反证法

2、内容解析

推理与证明是数学的基本思维过程，而反证法是一种应用广泛的数学证明方法，它的应用与发展历史悠久，早在古希腊数学家就应用它证明了许多重要的数学命题，欧几里德的《几何原本》已经开始运用反证法。牛顿曾说过，反证法是“数学家最精当的武器之一”，它在许多方面都有着不可替代的作用。在现在数学中，反证法已经成为最常用最有效的解决问题的方法之一，本节课也为高中学习做一个良好的铺垫。

二、学生情况分析

本节内容对于初中学生首次接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是初中学生学习的一个难点，主要是反证法需要逆向思维，但本阶段学生这方面的训练和发展是不充分的，所任教班级学生数学思维一般，差异大，需要实例引导。

三、设计思想

本节课的设计遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过小故事提出问题，合作讨论，合情推理，归纳概念，反证法的基本步骤，让学生在观察分析、自主探究、合作交流过程中，领会

数学的思想方法，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标

知识与技能

1、通过实例了解反证法的含义。

2、了解反证法的基本步骤。

3、会利用反证法证明简单命题。

过程与方法

通过实例感知——观察——归纳——应用，体验数学活动充满探索性和创造性，渗透事物间的相互对立，相互矛盾的辩证唯物主义思想。

情感、态度与价值观

构造和谐的教学氛围，培养他们勇于探索和创新的精神以及优化他们的个性品质。

五、教学重难点

重点：反证法的含义和步骤。

难点：理解反证法证明的矛盾依据。

六、学法指导

通过教师的范例讲解，学生间的合作学习，体会反证法的含义，证明步骤及思路方法，反证过程中批判思想有助于学生正确的认识客观世界，在教学过程中，，重视培养学生的利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，在合作探究中，培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会。

七、教学过程

【情境导入】

故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李。

教师提出问题：王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法? 假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路的人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。

反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑，往往能达到柳暗花明又一村的境界。

那么什么叫反证法呢？（板书课题）

【设计意图】通过小故事，问题的讨论，导入新课，兴趣是最好的老师，让学生明确数学源于生活，同时又能够提高学生的求知欲，探索欲，使学生保持积极，产生良好的情感体验和兴趣。

【新知探究】

探究一、认识反证法

在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。

归纳反证法证题的步骤．

①假定结论不成立（即结论的反面成立）；

②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾，由矛盾判定假设不正确；

③肯定命题的结论成立

你能说出下列结论的反面吗? 1、a∥b；

2、AB=CD；

3、x是负数；

4、a>b；

5、∠A是锐角；

6、三角形中最多有一个直角

【设计意图】通过教师的设问，学生思考、探究、类比，得出反证法的概念，结合熟悉的情景，让学生感受用反证法证明命题的第一步假设很关键，能否正确地的写出假设，是解决问题的基础和保障。

探究二：应用反证法

求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 把本题改编成填空题：

已知: 直线a、b被直线c所截，∠1≠∠2 求证: a不平行b 证明: 假设__________________ 那么

这与“___________________________________”矛盾。

∴假设不成立,即求证的命题正确。

∴a不平行b。

【设计意图】通过本例题示范，引导学生感知反证法的步骤，把本题改编成填空题，降低难度，做好引领，同时感受到证明两直线相交的判定方法是多样的。

探究三、合作学习

（1）求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角。

（2）已知:如图,∠A,∠B,∠C是△ABC的内角。

求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60度。

（3）求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行

教师提出问题：

（1）你首选的是哪一种方法？

（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？

（3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？

【设计意图】设计三道例题，分组合作完成，让学生熟悉反证法的步骤与思想，明确反证法的关键是如何由结论的反面得出矛盾，教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路。

【随堂练习】

1、试说出下列命题的反面：

（1）a是实数。

（2）a大于2。

（3）a小于2。

（4）至少有2个

（5）最多有一个

（6）两条直线平行。

2、用反证法证明“若a2≠

b2,则a ≠

b”的第一步是_____________.

3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步__________________________. A

【设计意图】通过练习，巩固本节课所学知识，加深印象，让学生切实感受到反证法在解决问题的优越性。

【总结与反思】这节课你收获了什么？

【设计意图】学生在反思中整理知识，梳理思路，获得成功的感受，积累学习经验，提高学生的思维能力。

【布置作业】

A组

用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角

B组写一篇小文章：我眼中的反证法

【设计意图】尊重学生的个体差异，设置个性化作业，在学生过程中让学生感受有情感的投入，有内在动力的支持。

板书设计：

反证法

反证法的证明步骤：

（1）否定结论

（2）推出矛盾—①与已知条件矛盾②与假设矛盾③与已有公理、定理、定义矛盾

（3）肯定结论