探究与发现 为什么截口曲线是椭圆国家优质课一等奖

1.课题:双曲线第二定义

学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.

复习回顾

问题推广

引出课题

归纳小结

课堂练习

典型例题

教学目标

知识目标：椭圆第二定义、准线方程；

能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景；

2了解离心率的几何意义；

3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；

4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；

5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；

情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值. 教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；

教学难点：椭圆的第二定义的运用；

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学过程：

学生探究过程：复习回顾

221．椭圆9xy81的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为62，离心率为22，3焦点坐标为(0,62)，顶点坐标为(0,9)(3,0)，（准线方程为y272）. 42．短轴长为8，离心率为3的椭圆两焦点分别为F1、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B5两点，则ABF2的周长为

20

. 引入课题

x2y21，M1，M2为椭圆上的点

【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为2516①

求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离

2.6

. ②

若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？

1691342y02

解：|MF|(43)y且1代入消去y0得|MF|25162552202

x2y2【推广】你能否将椭圆221上任一点M(x,y)到焦点F(c,0)(c0)的距离表示成ab点M横坐标x的函数吗？

解：|MF|(xc)2y2x2y2221ba222代入消去y2

得b22c|MF|x2cxcb2x(xa)2

aacca2a2|xa||x|e|x|

aacc问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）

a2c椭圆上的点M到右焦点F(c,0)的距离与它到定直线x的距离的比等于离心率

ac问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）

a2c动点M到定点F(c,0)的距离与它到定直线x的距离的比等于常数(ac)的点的ac轨迹是椭圆．

【引出课题】椭圆的第二定义

当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ec(0e1)时，这a个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．

a2x2y2对于椭圆221，相应于焦点F(c,0)的准线方程是x．根据对称性，相应于焦caba2a2y2x2点F(c,0)的准线方程是x．对于椭圆221的准线方程是y．

ccab可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．

由椭圆的第二定义|MF|e可得：右焦半径公式为da2a2|MF右|ede|x|aex；左焦半径公式为|MF左|ede|x()|aex

cc典型例题

x2y21的右焦点和右准线；左焦点和左准线；

例1、求椭圆2516

a2a2解：由题意可知右焦点F(c,0)右准线x；左焦点F(c,0)和左准线x

cc变式：求椭圆9x2y281方程的准线方程；

y2x2a22721，故其准线方程为y解：椭圆可化为标准方程为：

819c4小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出

x2y21上的点M到左准线的距离是2.5，求M到左焦点的距离例2、椭圆2516为

. 变式：求M到右焦点的距离为

. 解：记椭圆的左右焦点分别为F1,F2到左右准线的距离分别为d1,d2由椭圆的第二定义可知：|MF1|c3|MF|3ee|MF1|ed12.51.5|MF1|1.5

d5d1a5|MF2|8.5

又由椭的第一定义可知：|MF1||MF2|2a10a2505852.5另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为2

c326|MF2|385e|MF2|ed28.5

d256小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用

例1、

点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x8的距离的比是1：2，求点P的轨迹；

(x2)2y21x2y21，解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则由化简得1612|x8|2故所的轨迹是椭圆。

a28解得a4，又因解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以xcx2y2c11

为e故所求的轨迹方程为a21612变式：点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线x5的距离的比是1：2，求点P的轨迹；

分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢？

解法一：设P(x,y)为所求轨迹上的任一点，则(x2)2y21由化简得|x5|2(x1)2y21，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）

3x6x4y90配方得4322a25解得a210，故解法二：因为定点A（2，0）所以c2，定直线x8所以xcx2y21

所求的轨迹方程为106x2y2(x1)2y21的长半轴长、短半轴长、半焦距、1和问题1：求出椭圆方程4343离心率；

x2y2(x1)2y21长轴顶点、焦点、准线方程；

1和问题2：求出椭圆方程4343x2y2(x1)2y21所以问题1向右平移一个单位即可以得到椭圆解：因为把椭圆43431中的所有问题均不变，均为a3,b3,c1,ec1

a2x2y21长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(2,0)，(1,0)x4；

43(x1)2y21长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(21,0)，(11,0)x41；

43反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为ec21另一方面离心率就等于这是两上矛盾2a10的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。

小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；

解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。

例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（

）

A.相切

B.相离

C.相交

D.相交或相切

分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？

解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为l；

过点A、B、M分别作出准线l的垂线，分别记为d1,d2,d由梯形的中位线可知dd1d2

2又由椭圆的第二定义可知|AF||BF|ee即|AF||BF|e(d1d2)

d1d2又dd2|AB||AF||BF||AB|e1且0e1d故直线与圆相离

2222x2y21的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；且A(1,2)求例5、已知点M为椭圆25165|MA||MF1|的最小值

35分析：应如何把|MF1|表示出来

3a225，作MDl1于点D，记d|MD|

解：左准线l1：xc3由第二定义可知：|MF1|c335e

⇒

|MF1|d

⇒

d|MF1|

53da5故有|MA|5|MF1||MA|d|MA||MD|

325

3所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：1即|MA|528|MF1|的最小值是

33变式1：3|MA|5|MF1|的最小值；

解：3|MA|5|MF1|3(|MA|

528|MF1|)328

333|MA||MF1|的最小值；

533532828解：|MA||MF1|(|MA||MF1|)

553535变式2：

M D A F

巩固练习

1．已知

是椭圆

上一点，若

到椭圆右准线的距离是

，则

到左焦点的距离为_____________．

2．若椭圆

的离心率为

，则它的长半轴长是______________．

答案：1．

2．1或2 教学反思

1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；

2．椭圆定义的简单运用；

3．离心率的求法以及焦半径公式的应用；