复习参考题教案板书设计

高二数学期末复习《空间向量与立体几何》学案（7）

编制人：孙月秀

审核人：钟玉发

使用时间：1月17日

【课前训练】

1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(

) A．l∥α

B．l⊥α

C．lα

D．l与α斜交

2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是(

) A．平行

B．相交但不垂直

C．垂直

D．不能确定

3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为(

) A．(－9，－7,7)

B．(18,17，－17)

C．(9,7，－7)

D．(－14，－19,31) 4．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则(

) 1515A．x＝6，y＝15

B．x＝3，y＝

C．x＝3，y＝15

D．x＝6，y＝

225．以下命题中，不正确的个数为(

) ①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·bc＝0，则a＝c；④若a，b，c为空间的一个基底，则a＋b，b＋c，c＋a构成空间的＝0，b·b)·c|＝|a|·另一个基底；

⑤|(a·|b|·|c|. A．2

B．3

C．4

D．5 6．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(

) 6545255A.

B.

C.

D.

5555π7.平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为_3或2π___ 3π8.在正三棱柱ABC—A1B1C1中侧棱长为2，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角为________.

6【知识回归】

【典型例题】

例1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．

(1)证明平面A1BD∥平面B1CD1；

(2)证明MN⊥面A1BD.

例2.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4. (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；

(2)求直线AF与平面A1ED所成的角；

(3)求面A1ED与面EDF所成角的正弦值．

例3.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求二面角P—CD—B的大小；(2)求证：平面MND⊥平面PCD；

(3)求点P到平面MND的距离．

【当堂训练】

1．若两个不同平面α，β的法向量分别为＝(1,2，－1)，＝(－3，－6,3)，则(

) A．α∥β

B．α⊥β

C．α，β相交但不垂直

D．以上均不正确

→→2．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝3，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为(

) A.(1,1,1)

B.(－1，－1，－1)

C.(1,1,1)或(－1，－1，－1) D.(1，－1,1)或(－1,1，－1) →→→→→→3．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是(

) A．钝角三角形

B．锐角三角形

C．直角三角形

D．不确定

4.若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为______3

5.如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN. →→(1)求cos〈A1D，AM〉；

(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；

(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．

高二数学期末复习作业（7）

编制人：孙月秀

审核人：钟玉发

使用时间：1月17日

1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成角等于(

) A．30°

B．60°

C．150°

D．以上均错

2.

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，

则MN与平面BB1C1C的位置关系是(

) A．相交

B．平行

C．垂直

D．不能确定

3．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是(

) A．等边三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D等腰直角三角形

4.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是上底面中心，

则AC1与CE的位置关系是(

) A．平行

B．相交

C．相交且垂直

D．以上都不是

5．正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(

)

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为(

) 1313A.

B.

C.

D.

2233→→→→→7．已知OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA·QB取得最小值时，点

Q的坐标为(

)

（，，）（，，）（（，，）A.

B.

C.，，）

D.

（1，，2）8．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝___-8_____. 9．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有__0____对．

10.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为

棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则(

)

①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥面DCC1D1；④A1M∥面D1PQB1.

以上结论中正确的是_①③④_____．(填写正确的序号)

13124313322444833344733312

班级：_______________

姓名：________________

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11.如图，点B是以AC为直径的圆周上的一点，PAABBC,AC4,PA面ABC，点E为PB中点．（Ⅰ）求证：平面AEC平面PBC；（Ⅱ）求直线AE与平面PAC所成角的大小．

12.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，

AB＝2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于M. (1)求证：平面ABM⊥平面PCD；

(2)求平面PAB与平面ABM所成的角的正弦值．

(3)求直线AB到平面PDC的距离

13.如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=3,

BAD120.

（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求二面角B-A1D-A的正弦值.

11（Ⅰ）证明平面（Ⅱ）平面平面取平面的中点．

，连则与平面，

所成角，

，所以，

，

平面，连，就是直线与平面所成角为．

例3.(1)解

∵PA⊥平面ABCD，由ABCD是正方形知AD⊥CD. ∴CD⊥面PAD，∴PD⊥CD. ∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角．

∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，

即二面角P—CD—B的大小为45°. (2)如图，建立空间直角坐标系，

则P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，M(1,0,0)，

→∵N是PC的中点，∴N(1,1,1)，∴MN＝(0,1,1)，

→→ND＝(－1,1，－1)，PD＝(0,2，－2)．

设平面MND的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)．

→→∴m·MN＝0，m·ND＝0，

y1＋z1＝0，即有令z1＝1，得x1＝－2，y1＝－1.∴m＝(－2，－1,1)．

－x＋y－z＝0.111→→同理，由n·ND＝0，n·PD＝0，

－x2＋y2－z2＝0，即有令z2＝1，得x2＝0，y2＝1，∴n＝(0,1,1)．

2y－2z＝0.22∵m·n＝－2×0＋(－1)×1＋1×1＝0，∴m⊥n.∴平面MND⊥平面PCD. (3)设P到平面MND的距离为d. 由(2)知平面MND的法向量m＝(－2，－1,1)，

→→∵PD·m＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4，∴|PD·m|＝4，

→|PD·m|426222又|m|＝－2＋－1＋1＝6，∴d＝＝＝. |m|36

26. 36.解

(1)建立空间直角坐标系(如图)．

即点P到平面MND的距离为

则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)．

→→∴AM＝(5,2,4)，A1D＝(0,8，－4)．

→→→→∴AM·A1D＝0＋16－16＝0，∴AM⊥A1D. →→∴cos〈A1D，AM〉＝0.

(2)∵A1D⊥AM，A1D⊥AN，且AM∩AN＝A，

→∴A1D⊥平面ANM，

→∴A1D＝(0,8，－4)是平面ANM的一个法向量．

→→→又AD＝(0,8,0)，|A1D|＝45，|AD|＝8，

→→A1D·AD＝64，

64225→→∴cos〈A1D，AD〉＝＝＝. 545×855∴AD与平面ANM所成角的余弦值为. 5→(3)∵平面ANM的法向量是A1D＝(0,8，－4)，

平面ABCD的法向量是a＝(0,0,1)，

－45→∴cos〈A1D，a〉＝＝－. 5455∴平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值为. 5