习题2.3教案（名师）

《双曲线及其标准方程》教学设计

王引德

2017.12.4

一、教学目标

1.使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．

2.在与椭圆的类比中获得双曲线的认识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．

二、教材分析

1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．

(解决办法：通过一个简单实验的视频得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．) 2．难点：双曲线的标准方程的推导．

(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．) 三、活动设计

观看实验视频、归纳定义、讲解、变式讲解、课堂练习、小结．

四、教学过程

(一)复习提问

1．椭圆的定义是什么？

平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．

注意点：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|=2c．

2．椭圆的标准方程是什么？

(二)双曲线的概念

把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？

1．几何画板模拟拉链视频(边演示、边说明)

（1）如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a （2）如图(B)，|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由（1）（2）可得：| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）

上面两条曲线合起来叫做双曲线

2．双曲线定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．

| |MF1| - |MF2| |

= 2a

这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

注意： ⑴距离之差的绝对值； ⑵ 0<2a<2c （提醒：和椭圆的定义要进行区别识记）

思考：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？两条射线

（2）若2a>2c,则轨迹是什么？不表示任何轨迹

（3）若2a=0,则轨迹是什么？

线段F1F2的垂直平分线

(观看几何画板动画视频总结)

(三)双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？

标准方程的推导：

(1)建系

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1 F2的垂

直平分线为y轴(如图2-24)建立直角坐标系．

(2)设点

设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距

是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、

(c，0)．

(3)列式．

由定义可知，双曲线上的点就是集合：

P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M| MF1|-|M F2|=±2a}．

(4)化简

将这个方程移项，两边平方得：

（具体化简过程类比椭圆方程的推导，参照课本）这就是双曲线焦点在X轴上的的标准方程．

两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

注意：

(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，2那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．

(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是cab，不同于椭圆方程中222c2a2b2．

(四)双曲线与椭圆之间的区别与联系

(五)例题：已知两定点F1(5,0),F2(5,0),动点P满足PF1PF26, 求动点P的轨迹方程.

解：

∵F1F210>6,

PF1PF26

∴

由双曲线的定义可知，点P的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为F1(5,0),F2(5,0)

x2y2∴可设所求方程为:221 (a>0,b>0). ab∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2y21. 所以点P的轨迹方程为916变式训练1:已知两定点F1(5,0),F2(5,0),动点P满足PF1PF26,求动点P的轨迹方程. 变式训练2:已知两定点F1(5,0),F2(5,0),动点P满足PF1PF210,求动点P的轨迹方程.

(六)练习：求满足下列条件的双曲线的标准方程：

1. 焦点在x轴上,a=4,b=3 -3，2.

焦点在x轴上，过点-2，15，,2

33.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,-5)

(七)小结

1．双曲线定义：双曲线是平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形(见图2-25)：

4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．

5．a、b、c的关系：cab．

五、

布置作业

222

1.课本P61习题2.3 A组1,2；

2.优化设计P30～32.