3.1.1 空间向量及其加减运算优秀教学设计

空间向量的加减运算、数乘运算

一、考点突破

知识点

课标要求

1. 理解空间向量的概念；

空间向量的加减运算、数乘运算

二、重难点提示

重点：空间向量的概念及线性运算。

难点：共线向量、共面向量的定理及其推论的应用。

考点一：空间向量的概念

在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模。空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模。向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为a或2. 掌握空间向量的线性运算；

3. 掌握共线向量定理、共面向量定理及其推论的应用。

选择题

填空题

题型

说明

注意空间向量的加减运算、数乘运算的几何意义及两个重要定理。

AB。

我们规定：长度为0的向量叫作零向量，记为0。模为1的向量称为单位向量。方向相同且模相等的向量称为相等向量，方向相反且长度相等的向量称为相反向量。

【核心突破】

1. 向量可以用有向线段表示，但不可以说向量就是有向线段。因为向量是借助于有向线段表示的；向量只要具备大小与方向即可，而有向线段的三要素是：起点、方向、大小。有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法。

2. 在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点A，那么它们的终点构成球面。3. 零向量不是没有方向，它的方向是任意的。

考点二：空间向量的线性运算

1. 空间向量的加、减法运算（如图）：

OB＝OAAB＝a＋b；CA＝OAOC＝a－b。

空间向量的加法运算满足交换律及结合律：①a＋b＝b＋a；②（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。

2. 空间向量的数乘运算：

（1）定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。

（2）运算律：①λ（a＋b）＝λa＋λb；②λ（μa）＝（λμ）a。

【核心突破】

向量可以平移，任意两个向量都是共面向量。因此两个空间向量的加减法运算和平面向量的运算方式完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行。

（1）利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”，和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点；进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点。

（2）平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算。注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边表示的向量的和与差。

（3）三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中，把有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有限个向量的和向量。

考点三：共线向量与共面向量

1. 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量。

共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb。

2. 平行于同一个平面的向量叫作共面向量。

共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb。

推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使AP＝xAB＋yAC或对空间任一点O，有OP＝OAxAByAC或OPxOAyOBzOC（其中x+y+z＝1）。

【规律总结】

1. 利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础；

2. 利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题。

（空间向量的有关概念）

例题1

下列命题中，正确命题的序号是________。

①

零向量没有确定的方向；

②

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，ACAC11；

③

若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；

④

在四边形ABCD中，必有ABADAC。

思路分析：（1）空间向量中，零向量是怎样定义的？（2）怎样判断两个向量相等？（3）四边形ABCD满足什么条件时，才有ABADAC？

答案：①正确；②正确，因为AC与AC11的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有ABADAC。综上可知，正确命题为①②。

技巧点拨：1. 在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中与其相对应的概念完全相同。2. 由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念的问题时，通常抓住这两点来解决。3. 零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性。

下列命题中是假命题的有________。

（1）空间向量中的两个单位向量必相等；

（2）若空间向量满足a∥b，b∥c，则a∥c；

（3）空间向量a、b满足a＝b，则|a|＝|b|；

（4）若空间向量a，b，c满足a＝b，b＝c，则a＝c。

思路分析：根据向量的有关概念解决。

答案：（1）单位向量模相等，方向不一定相同，故两单位向量不一定相等；（2）若b＝0，则结论不成立；（3）正确；（4）正确，相等向量满足传递性。故应填（1）（2）。

技巧点拨：共线向量不具有传递性，非零共线向量具有传递性；相等向量具有传递性。

（空间向量的线性运算）

例题2

如图，三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA，OB，OC表示MG，OG。

思路分析：利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可。

1212OAAN＝OA(ONOA)

2323121OA(OBOC)OA

232111OAOBOC

6331111111

OG＝OM＋MGOAOAOBOCOAOBOC技巧点2633333答案：MG＝MA＋AG＝拨：确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点，若是，利用平行四边形法则即可求解。若不是，利用封闭图形，寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系，进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧。一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径其结果应是唯一的。

（共线定理、共面定理的应用）

例题3

如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点。

（1）求证：E、F、G、H四点共面；

（2）求证：BD∥平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有

OM1(OAOBOCOD)。

4思路分析：对于（1）只要证出向量EGEFEH即可；对于（2）只要证出BD与EH共线即可；对于（3）易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量OM可由向量OG和OE表示，再将OG与OE分别用向量OC，OD和向量OA，OB表示。

答案：证明：（1）连接BG，

则EGEBBGEB1(BCBD)EBBFEHEFEH，

21111ADABADABBD，

2222由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面。

（2）∵EHAHAE∴EH∥BD。又EH⊂平面EFGH，BD平面EFGH，∴BD∥平面EFGH。

（3）找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG。由（2）知EH同理FG1BD，21BD，∴EHFG，即EH∥ FG，∴四边形EFGH是平行四边形。

2∴EG，FH交于一点M且被M平分。

故OM11111(OEOG)OAOBOCOD

222221(OAOBOCOD)。

4技巧点拨：（1）证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明AB，AC共线，亦即证明AB＝λAC

（λ≠0）。（2）证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明PA＝xPB＋yPC或对空间任一点O，有OA＝OPxPByPC或OPxOAyOBzOCxyz1即可。共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件。

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E＝2EB，CF＝2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为________。

思路分析：首先选取三个不共面的向量，把EF和平面A1B1CD中的两个不共面的向量用这三个向量表达出来，然后利用向量共线定理寻找向量关系，从而求解。

EF答案：取ABa，ADb，AA1c为基底，易得而DB1abc，即EF∥DB1，故EF∥DB1，

且EF⊄平面A1B1CD，DB1⊂平面A1B1CD，

所以EF∥平面A1B1CD。

1abc，

3

技巧点拨：在空间中研究向量时，选取三个不共面的向量是关键，这样的一组向量也叫作空间中的一组基向量。