1.4.3 含有一个量词的命题的否定名师教学设计

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

[学习目标]

1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.

知识点一

全称命题的否定

全称命题p：∀x∈M，p(x)，

它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0). 知识点二

特称命题的否定

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，

它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x).

知识点三

全称命题与特称命题的关系

全称命题的否定是特称命题. 特称命题的否定是全称命题. 思考

(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？

(2)对省略量词的命题怎样否定？

答案

(1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.

(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.

题型一

全称命题的否定

例1

写出下列全称命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0. 解

(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)其否定为：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数. (3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在. (4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 反思与感悟

全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定. 跟踪训练1

写出下列全称命题的否定：

(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)p：所有自然数的平方都是正数；

(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0. 解

(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根. (4)綈p：存在实数x0，使得x20＋1<0.

题型二

特称命题的否定

例2

写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x0>1，使x20－2x0－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形. 解

(1) 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假). (2) 綈p：所有的素数都不是奇数.(假). (3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假). 反思与感悟

特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立. 跟踪训练2

写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3. 解

(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.

题型三

特称命题、全称命题的综合应用

例3

已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围. 解

(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，

即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可. 故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞). 反思与感悟

对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max；若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min. 跟踪训练3

已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R). (1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；

(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围. (1)证明

当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，

∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，

∴对任意x∈R，都有f(x)≤0. (2)解

∵f(x)≤4x恒成立，

∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，

a<0，a<0，∴即

Δ≤0，4＋12a≤0，

1解得a≤－，

31即实数a的取值范围是(－∞，－]. 3

含有一个量词的命题的否定

例4

写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)正方形都是菱形；

(2)∃x0∈R，x20－4x0－3＞0. 分析

(1)是省略了全称量词的全称命题，其否定是特称命题.(2)是特称命题，其否定是全称命题. 解

(1)有的正方形不是菱形.假命题. (2)∀x∈R，x2－4x－3≤0恒成立.假命题. 解后反思

含有一个量词的命题在否定时，往往只改变前面的量词，而将后面的否定忽略，这种错误应当避免.

1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是(

) A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根

答案

C 解析

命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根. 2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(

) A.綈p：∀x∈A,2x∈B

B.綈p：∀x∉A,2x∉B

C.綈p：∃x∉A,2x∈B

D.綈p：∃x∈A,2x∉B

答案

D 解析

命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D. 3.对下列命题的否定说法错误的是(

) A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形

C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形

D.p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100. 答案

C 解析

“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误. 4.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(

) A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0 D.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0 答案

C 解析

全称命题的否定是特称命题. 全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0. 5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________. 答案

有的向量与零向量不共线

解析

命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.

1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：

(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题. (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词. (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定. 2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.