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解析高考中圆锥曲线的最值问题

单位：内江六中

姓名：周誉

解析高考中圆锥曲线的最值问题

摘要 本文主要以2007年各省高考题为载体，从几何与代数两个角度阐述了圆锥曲线最值问题的求解策略。几何法注重圆锥曲线定义与平面几何知识的结合，代数法从三角函数、二次函数、均值不等式三方面解析了圆锥曲线的最值问题。

关键词 圆锥曲线 最值 几何法 代数法

历年来，高考数学都要考查圆锥曲线中的最值问题。此类问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识、函数、不等式等知识为一体，综合性强，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。但其解法仍然有章可循，有法可依。本文将介绍求解圆锥曲线最值问题的常用方法。

解答此类问题一般有两种方法：①几何法：若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质、；圆锥曲线定义等简洁求解

②代数法：就是建立目标函数，转化为求函数的最值问题．根据目标函数的特点可利用三角函数有界性、二次函数区间上的值域、均值不等式及函数的单调性等方法求最值．要特别注意自变量的取值范围。

一：几何法

x2y21内有一点A（2，1）例1. 已知椭圆，F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，2516求PAPF的最大值与最小值。

解：如图1，设椭圆的右焦点为F'，可知其坐标为（3，0）

由椭圆的第一定义得：PFPF'10

PF10PF'PAPFPA10PF'10PAPF'

可知，当P为AF'的延长线与椭圆的交点时，PAPF'最大，最大值为AF'2，当P为F'A的延长线与椭圆的交点时，PAPF'最小，最小值为AF'2。

故PAPF的最大值为102，最小值为102。

1

求解策略：利用椭圆第一定义转化为平面内到两定点距离的最值问题。

x2y22b2例2. 定长为dd的线段AB的两个端点分别在椭圆221(ab0)上移aba动，求AB的中点M到椭圆右准线l的最短距离。

解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作AA'l于A'，BB'⊥l于B'，MM'⊥l于M'

图3 则MM'AA'BB'2BF1AB1AFd

AFBF2ee2e2e2ed. 2e当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为2b22b2说明：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，d是AB能过焦点的充aa要条件。

求解策略：从椭圆的第二定义出发，再将问题转化为平几中的问题：三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。是解决此类问题的常见思路。

x2y21的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2例3．（ 06年江西卷）P是双曲线91622＝4和（x－5）＋y＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（

）

A. 6 B.7 C.8 D.9 解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时

|PM|－|PN|≤（|PF1|+2）－（|PF2|－1）=|PF1||PF2|3639故选D 求解策略：先将点到圆上点的距离转化为点到圆心的距离，再利用双曲线的第一定义。

例4. （07辽宁理20）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y22x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）

（I）求圆C的方程；

（II）设圆M的方程为(x47cos)2(y7cos)21，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE、PF，切点为E、F，求CECF的最大值和最小值．

解：（I）设A，B两点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，由题设知

2

22．

x12y12x2y222又因为y122x1，y22x2．即(x1x2)(x1x22)0．

2x2，可得x122x1x2由x10，x20，可知x1x2，故A,B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上．

3333设C点的坐标为(r,0)，则A点坐标为，于是有r,rr2r，解得r4，22222所以圆C的方程为(x4)2y216．

（II）解：设ECF2a，则

CECF|CE||CF|cos216cos232cos216．

在RtPCE中，cosx4，由圆的几何性质得

|PC||PC||PC|≤|MC|1718，|PC|≥|MC|1716，

1216cos，由此可得8CECF．

23916则CECF的最大值为，最小值为8．

9所以小结：利用圆锥曲线定义，并结合平面几何相关定理，常使最值问题变得轻松，简洁。

二：代数法

(一)

三角函数法

例1（05福建）设a,bR,a22b26,则ab的最小值是

A．22

B．53

3

C．－3 D．7

2解法一：利用椭圆的参数方程，化归为三角最值问题，

a,bR,a22b26,a6cos,2b6sin,ab32cossin3sinarctan23,3选C；

解法二：利用截距的几何意义，数形结合构建椭圆a22b26,abm相切，借助判别式为0得m3,3，选C；

小结：注意参数方程的灵活运用，解题时恰当地引入参数，将复杂的代数运算转化为简单的三角运算，并提供进一步利用函数性质的可能性。

（二）二次函数法

x2

例1.（07四川理20））设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点. 43

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围. 解：（Ⅰ）解法一：易知a2,b1,c3

所以F13,0,F23,0，设Px,y，则

PF1PF23x,yx213x,yxy3x133x28

44222因为x2,2，故当x0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值2

当x2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最大值1

（Ⅱ）略

例2、（07湖北理19）在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0,p)作直线与抛物线x22py（p0）相交于A,B两点．

（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；

（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

（Ⅰ）解法1：依题意，点N的坐标为N(0,p)，可设A(x1,y1),B(x2,y2)，

x22py直线AB的方程为ykxp，与x2py联立得消去y得x22pkx2p20．

ykxp2由韦达定理得x1x22pk，x1x22p2．

1于是S△ABNS△BCNS△ACN·2px1x2．

2y B C A O N x px1x2p(x1x2)4x1x2

p4p2k28p22p2k22，

∴当k=0时，(S2．

)22p△ABNmin2解法2：前同解法1，再由弦长公式得

AB1k2x1x21k2·(x1x2)24x1x21k2·4p2k28p2

2p1k2·k22，

4

又由点到直线的距离公式得d2p1k2．

112p从而S△ABN·d·AB·2p1k2·k22·2p2k22，

221k22∴当k0时，(S．

)22p△ABNmin（Ⅱ）略

x2y2y2x2例3（07上海文21）我们把由半椭圆221

(x0)与半椭圆221

(x0)合abbc成的曲线称作“果圆”，其中a2b2c2，a0，bc0． 如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”

与x，y轴的交点，M是线段A1A2的中点．

（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求该

“果圆”的方程； 22yx（2）设P是“果圆”的半椭圆221

bcy B2A1

. F. . O M . F20A2x F1

(x≤0)上任意一点．求证：当PM取得最小值时，

B1

P在点B1,B2或A1处；

（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标．

解：（1）

F0(c,0),F10,b2c2,F20,b2c2，

F0F2b2c2c2b1,F1F22b2c21，

于是c2,a2b2c2，

所求“果圆”方程为x2y21(x≥0)，y2x21(x≤0)． （2）设P(x,y)，则

47433474acb22 |PM|xy

1c22222(ac)2b2,c≤x≤0， x(ac)x4 b2120，

|PM|2的最小值只能在x0或xc处取到．

c5

即当PM取得最小值时，P在点B1,B2或A1处． （3）x2y2|A1M||MA2|，且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆221(x≥0)和半aby2x2椭圆221(x≤0)上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆bcx2y21(x≥0)上的情形即可． a2b2c2a2(ac)(ac)2a2(ac)2ac222 |PM|x．

y

a2x2c2b424c222a2(ac)a2(ac)2 当x时取到，

≤a，即a≤2c时，|PM|的最小值在x22c2c2a2(ac)此时P的横坐标是． 22ca2(ac)a，即a2c时，由于|PM|2在xa时是递减的，|PM|2的最小值在 当x22cxa时取到，此时P的横坐标是a． a2(ac) 综上所述，若a≤2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是；若a2c，22c当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是a或c． 小结：函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数，三角函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不容忽视。上述三例解题过程均是将圆锥曲线最值转化为讨论二次函数在区间上的最值，此时应注意其定义域是否受题设条件限制，是否需要分类讨论。

（三）：均值不等式

x2y26例1、（07陕西文22）已知椭圆C:22=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点ab3到右焦点的距离为3. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为的最大值. c6解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意a3

a36 3，求△AOB面积2

2xb1，所求椭圆方程为y21．

3（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

（1）当AB⊥x轴时，AB3．

（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm．

由已知m1k233，得m2(k21)．

42把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，

3(m21)6kmx1x22，x1x2．

23k13k136k2m212(m21)AB(1k)(x2x1)(1k)

2223k1(3k1)222212(k21)(3k21m2)3(k21)(9k21)

(3k21)2(3k21)212k21212343(k0)≤34．

19k6k2123629k26k当且仅当9k213，即时等号成立．当k0时，AB3，

k2k3综上所述ABmax2．

当AB最大时，△AOB面积取最大值S1AB33．

max222x2y21的左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直例2、（07全国1理21）已知椭圆32线交椭圆于B,D两点，过F2的直线交椭圆于A,C两点，且ACBD，垂足为P．

22xy001；

（Ⅰ）设P点的坐标为(x0,y0)，证明：32（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

证明：（Ⅰ）略

7

（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k0时，BD的方程为yk(x1)，代入椭圆方程x2y21，并化简得(3k22)x26k2x3k260．

32设B(x1,y1)，D(x2,y2)，则

6k23k26x1x22，x1x22

3k23k2BD1k243(k21)x1x2(1k)(x2x2)4x1x23k22；

22因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为1，

k1432143(k21)k所以，AC．

212k3322k四边形ABCD的面积

124(k21)2(k21)296SBDAC≥．

2(3k22)(2k23)(3k22)(2k23)2252当k21时，上式取等号．

（ⅱ）当BD的斜率k0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S4．

96．

25小结：以上二例均是利用均值不等式定理求解圆锥曲线最值问题的，解题时要先将目标函数配凑成积（或和）为定值的形式，这种恒等变形是使用最值定理的重要前提。同类型题还有07年高考浙江文21、安徽文18 综上所述，解决圆锥曲线中的最值问题，要注意联系圆锥曲线的定义和性质，重视运用数形结合，将问题转化为一定的函数关系或不等式进行讨论。概括来说：先根据题设条件，恰当选择某个与目标密切相关的自变量，并确定目标函数的解析式；在充分考虑函数的定义域、不等式的最值条件等前提下，应用函数的单调性、均值不等式定理及其推论等进行分类讨论。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、规范合理、结果准确。

综上，四边形ABCD的面积的最小值为

参考文献

：周宝生等，《十年高考》，南方出版社，2007年

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