1.2.1 充要条件教学活动设计方案

1.2.1 充分条件与必要条件

1.2.2 充要条件

1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.(重点) 2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.(重点) 3.通过对充分条件、必要条件概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳逻辑思维的能力.(难点) 充分条件、必要条件、充要条件的判断

指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

(4)p：a＜b，q：＜1. ab

[基础·初探] 教材整理1 充分条件与必要条件

阅读教材P9“例1”以上部分，完成下列问题. 命题真假

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

推出关系

p________q p________q

p是q的______条件

p不是q的______条件

条件关系

q是p的______条件

q不是p的______条件

【答案】

⇒

⇒/

充分

必要

充分

必要

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(

) (2)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立.(

) (3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立.(

) 【答案】

(1)√

(2)√

(3)×

教材整理2 充要条件

阅读教材P11“例3”以上部分，完成下列问题. 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的________条件，简称________条件. 概括地说，如果p⇔q，那么p与q________条件. 【答案】

充分必要

充要

互为充要

下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号). 2(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax＋bx＋c是偶函数；

(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c. 【解析】

在(1)(3)中，p⇔q，所以(1)(3)中p是q的充要条件，在(2)中，q⇒p，所以(2)中p不是q的充要条件. 【答案】

(1)(3)

p则q”“若q则p”的真假.从而确定p是q的什

【精彩点拨】

主要是判断命题“若﹁﹁么条件，当p、q是否定形式，可判断q是p的什么条件. 【自主解答】

(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件. ﹁﹁﹁﹁(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即q⇒p，但p⇒q，所以p是q的充分不必要条件. (3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件. (4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；

当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；

ababababa当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b. b因此p是q的既不充分也不必要条件. 当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；

1.判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件.要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定. 2.充分条件与必要条件的判断方法

(1)定义法

[小组合作型]

(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题. (3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况. ﹁﹁若p⇒q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

﹁﹁﹁﹁若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的必要不充分条件；

﹁﹁若p⇔q，则p与q互为充要条件；

﹁﹁﹁﹁若p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件. 第1页

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(4)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度.

[再练一题] 221.已知x，y∈R，p：(x－1)＋(y－2)＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 则p是q的________条件. 【解析】

因为p：x＝1且y＝2，则p⇒q，

22又因为q：x＝1或y＝2，当x＝1，y≠2时，(x－1)＋(y－2)≠0，故q⇒p.因此p是q的充分不必要条件. 【答案】

充分不必要条件

充分条件、必要条件、充要条件的应用

3333⇔≤a<2或

探究

充要条件的证明与探求应注意哪些问题？

【提示】

(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则

由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则

由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. (2)探求充要条件，可先证必要性，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件. 11

已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 

已知p：1－x－122≤2，q：x－2x＋1－m≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条3xy件，求实数m的取值范围. 【精彩点拨】

先解出两个不等式，由p是q的充分不必要条件可得p⇒q，q⇒/p.从解集的角度出发，p对应的集合要真包含于p对应的集合，从而建立关于m的不等式组，解出m的范围. x－1，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0}，则AB. 【自主解答】

设A＝x1－≤23【精彩点拨】

依题意，分别证明充分性和必要性. 1111y－x【自主解答】

必要性：由<，得－<0，即<0.

xyxy又由x>y，得y－x<0.所以xy>0. xy11充分性：由xy>0及x>y，得>，即<. xyxyxy11综上所述，<的充要条件是xy>0. xyx－1≤2⇔－2≤x≤10，

解不等式1－3解不等式x－2x＋1－m≤0⇔1－m≤x≤1＋m(m>0)，∵p⇒q且q⇒/p，

1＋m≥10，1＋m>10，故AB，则或

1－m<－2，1－m≤－2，∴m≥9.

[再练一题] 222.已知p：2x－3x－2≥0，q：x－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 2【解】

令M＝{x|2x－3x－2≥0}

1＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝xx≤－或x≥2，

222xy

1.证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性. 2.证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论.

[再练一题] 23.求证：关于x的方程ax＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 2【证明】

假设p：方程ax＋bx＋c＝0有一个根是1，

q：a＋b＋c＝0. (1)证明p⇒q，即证明必要性. 22∵x＝1是方程ax＋bx＋c＝0的根，∴a·1＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. (2)证明q⇒p，即证明充分性. 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. 222∵ax＋bx＋c＝0，∴ax＋bx－a－b＝0，即a(x－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根. 2故方程ax＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}

＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}

＝{x|x≤a－2或x≥a}，

由已知p⇒q且q⇒/p，得MN. 1a－2≥－，2∴a<2

1a－2>－，2或a≤2

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