1.1.3 四种命题间的相互关系课堂实录【1】

1．1.2 & 1.1.3

四种命题

四种命题间的相互关系

观察下列四个命题：

(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．

(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等．

(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形．

(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．

问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；

对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；

对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．

1．四种命题

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内容

名称

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分互逆命题

别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中，一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，互否命题

这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰互为逆否命题

好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原原命题为“若p，则q”；

逆否命题为“若¬q，则¬p”

原命题为“若p，则q”；

否命题为“若¬p，则¬q”. 原命题为“若p，则q”；

逆命题为“若q，则p”. 定义

表示形式

命题的逆否命题.

2．四种命题之间的关系

3．四种命题的真假性之间的关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

1．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，再根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、逆否命题．

2．互为逆否命题的两个命题真假性相同．

四种命题之间的转换

[例1]

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x>10，那么x>0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. [思路点拨]

首先把命题写成“若p，则q”的形式，再按四种命题之间的关系写出逆命题、否命题和逆否命题．

[精解详析]

(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线，

否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；

逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；

否命题：如果x≤10，那么x≤0；

逆否命题：如果x≤0，那么x≤10. (3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；

否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；

逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.

[一点通]

(1)要实现四种命题的转化首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的条件、结论之间的关系进行转化即可．

(2)如果原命题含有大前提，在写原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

π1．(2012·湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(

) 4πA．若α≠，则tan α≠1

4πC．若tan α≠1，则α≠

4

πB．若α＝，则tan α≠1 4πD．若tan α≠1，则α＝

4解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．

答案：C 2．写出命题“若a>1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数”的逆命题、否命题和逆否命题．

解：逆命题：若函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则a>1. 否命题：若a≤1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上不是增函数．

逆否命题：若函数y＝logax在(0，＋∞)上不是增函数，则a≤1.

四种命题真假的判断

[例2]

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．

(1)垂直于同一个平面的两直线平行．

(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．

(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0. [思路点拨]

写出命题的条件、结论→写出四种命题→判断命题的真假

[精解详析]

(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．

否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．

逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．

(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．

否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．

逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．

(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．

否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．

逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．

[一点通]

要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．

3．有下列四个命题：

(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

(2)“若x>y，则x2

(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；

(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．

其中真命题的个数是(

) A．0

C．2

解析：

(1)

真

原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题. 原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题. 该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题. 该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”，显然是假命题.

B．1 D．3 (2)

假

(3)

假

(4)

答案：B 假

4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；

(2)相等的两个角的正弦值相等；

(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3；

(4)若x∈A，则x∈A∩B. 解：(1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b；真命题．

否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B；真命题．

逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b；真命题．

(2) 逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等；假命题．

否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等；假命题．

逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等；真命题．

(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0；真命题．

否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3；真命题．

逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0；假命题．

(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A；真命题．

否命题：若x∉A，则x∉A∩B；真命题．

逆否命题：若x∉A∩B，则x∉A；假命题.

等价命题的应用

[例3]

判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．

[思路点拨]

解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断．

[精解详析]

法一：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0. ∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．

又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．

法二：原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”．

方程x2＋2x－3m＝0无实数根，

1∴Δ＝4＋12m<0.∴m<－≤0. 3∴“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为真．

法三：p：m>0，q：方程x2＋2x－3m＝0有实数根；

綈p：m≤0，綈q：方程x2＋2x－3m＝0无实数根．

綈p：A＝{m|m≤0}，

綈q：B＝{m|方程x2＋2x－3m＝0无实数根} 1＝{m|m<－}．

3∴B⊆A，∴“若綈q，则綈p”为真，

即“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为真．

[一点通]

(1)原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

(2)命题可以和很多知识相结合，本题是一道有关集合、不等式及二次方程的综合题．这种题目综合性较强，需要对这几个方面的内容熟练掌握，且要有一定的分析推理能力．

5．把本例命题改换成“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”，判断其逆否命题的真假．

解：法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集．判断真假如下：

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. ∵a≥2，∴4a－7>0，

即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．

法二：判断原命题的真假：

因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，

∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，

7∴a<，∴a<2，∴原命题为真命题．

4因为原命题和逆否命题等价，故逆否命题为真命题．

16．已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于. 31证明：原命题的逆否命题为：已知a，b，c∈R，若a，b，c都大于或等于，则a＋b3＋c≥1. 111由条件a≥，b≥，c≥，得

333a＋b＋c≥1. 显然逆否命题为真命题．

所以原命题也为真命题．

即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1，

1则a，b，c中至少有一个小于. 3

1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q；

(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

(3)按照四种命题的结构写出所有命题．

2．一般地，四种命题之间的真假性，有且仅有下面四种情况：

原命题

真

逆命题

真

否命题

真

逆否命题

真

真

假

假

假

真

假

假

真

假

真

假

假

1．若命题p的逆命题是q，q的逆否命题是r，则命题r是命题p的(

) A．逆命题

C．逆否命题

B．否命题

D．等价命题

解析：根据四种命题之间的关系可知命题r是命题p的否命题．

答案：B 2．命题“若x2<1，则－1

) A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－11或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 解析：根据原命题与逆否命题之间的关系可知D正确．

答案：D 3．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

) A．0

C．3

B．2 D．4 解析：原命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”为假命题；逆命题“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”为真命题；否命题“若a≤b，则ac2≤bc2(a，b，c∈R)”为真命题；逆否命题“若ac2≤bc2，则a≤b(a，b，c∈R)”为假命题．

答案：B 4．有下列命题：①“若x2＋y2＝0，则x，y全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是(

) A．①②③

C．①③④

B．②③④

D．①④

解析：①否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y不全是0”，为真．

②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．

③逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，

则m≥1”．

∵当m＝0时，解集不是R，

m>0，∴应有即m>1. Δ<0，

∴其逆命题是假命题．

④原命题为真，逆否命题也为真．

答案：D 5．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是________，假命题的个数是________．

解析：原命题“对顶角相等”是真命题，逆命题“如果两个角相等，则这两个角是对顶角”是假命题，所以否命题是假命题，逆否命题是真命题．

答案：2

2 6．已知命题“若m－1

解析：由已知得，若1

m－1≤1，∴∴1≤m≤2. m＋1≥2.

答案：[1,2] 7．写出命题“如果|x－2|＋(y－1)2＝0，则x＝2且y＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

解：逆命题：如果x＝2且y＝1，则|x－2|＋(y－1)2＝0；真命题．

否命题：如果|x－2|＋(y－1)2≠0，则x≠2或y≠1；真命题．

逆否命题：如果x≠2或y≠1，则|x－2|＋(y－1)2≠0；真命题．

8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. 证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R. 若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

即逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

法二：假设a＋b<0，

则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．

所以假设不成立，故a＋b≥0.