小结特级教师教学实录

导数解决三次函数问题（教案）

教学目标

（1）知识目标:以三次函数为载体，掌握用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题的方法。 （2）能力目标:深化数形结合、转化与化归、分类讨论、从特殊到一般等数学思想在解有关问题中的运用，培养学生探究问题的能力和综合分析、解决问题的能力。

（3）情感目标:以数形联系的观点看数学问题，体会由特殊到一般的方法探究数学问题的过程。鼓励学生大胆猜想，敢于质疑，严密论证。

教学重点:导数应用。

教学难点:三次函数的单调性、极值点个数的探求。

教学模式:以学生为主体，运用探究式与合作式教学相结合的教学模式。

教学过程

一 回顾复习 引出本课课题

叙述利用导数求可导函数单调区间的步骤。叙述三次函数的导函数是二次函数。

二 探究教学 掌握三次函数特征

探究1 一般三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)在R上的增减性。

结论 当a>0,且Δ≤0时,函数f(x)在R上是增函数; 当a<0,且Δ≤0时,函数f(x)在R上是减函数.

探究2 你能探究一般三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的单调性、极值点个数吗？

结论 函数f(x)ax3bx2cxd(a0)单调性、极值点个数情况。f'(x)=3ax22bxc，记=4b212ac4(b23ac)，（其中x1,x2是方程f'(x)=0的根，且x1

a>0

单

调

性

极值点个数

a<0 >0 在(,x1),(x2,)上,是增函数；

在(x1,x2)上,是减函数；

0 在R上是增函数

数；

>0 在(x1,x2)上，是增函0 在R上是减函数

0

在(,x1),(x2,)上，是减函数；

0

2

2

- 1 -

探究3 你能探究一般三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)图象吗

结论

a>0 a<0 >0 0 >0 0

x1

x2 x

图

象

x0 x

x1 x2 x

x0 x

三 合作教学 掌握三次函数应用

例：类型一

1.若函数fxx3x2xm有三个互不相同的零点，则实数m的取值范围为______．

2.已知函数fxx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c______．

例：类型二

3.已知函数fxx3mx2m6x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围为_____________．

4.设函数fxx39x26xa，若方程fx0有且仅有一个实根，则实数a的22取值范围为_________．

5.若函数fxxaxx1在R上是单调函数，则实数a的范围是_________．

3例：类型三

36.设函数fxx3x1对区间3,2上任意x1,x2，都有fx1fx2t，则实数t的最小值为______．

7.若f(x)8.设43xbx有三个单调区间，求b取值范围．

3fxax3bx1的导数为fx．

（I）设F(x)f(x)2x，F(x)在x1处取得极值3，求a,b；

（II）设gx范围．

- 2 - fxex，若函数gx在区间1,上单调递减，求实数a的取值

点评1 导数的主要应用：可导函数的单调性、极值、在闭区间上的最值，以及利用导数的几何意义研究切线问题。

点评

2

数形结合，以形助数来解决问题。

四 总结反思 构建知识体系

（1）知识点 （2）数学思想方法：数形结合，从特殊到一般，分类讨论，方程与函数思想，转化思想等。

五 布置作业 检阅解题能力（作业红对勾）

六 自我反思 提高教学能力（课后记）

七 板书设计（略）

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