一、圆锥曲线的光学性质及其应用教案（名师）

人教A版选修2-1 第二章第四节

圆锥曲线的光学性质及其应用

教学设计

姓名： 丁亚男

单位： 浙江省杭州高级中学

《圆锥曲线的光学性质及其应用》教学设计

杭州高级中学 丁亚男

一、教材内容解析：

本节内容选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书——数学选修2-1》第二章第四节后的一段阅读与思考材料，重点介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质以及它们在生活生产中的广泛应用，属于知识拓展课。

本节内容是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学知识与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中应用的典型案例。学生在教师的指引下，对材料进行充分地阅读与思考，积累思考成果，通过课堂进行分享与交流，既掌握了圆锥曲线的光学性质及其广泛应用，又提升了从已知探索未知的能力，同时完善了自身的知识结构，巩固了利用导数求切线方程、利用坐标法解决几何问题等一系列知识，培养了学生数学建模、直观想象、逻辑推理等数学能力，同时在分享与交流过程中体验到学习的快乐，因此这部分知识是发展学生自主学习能力，提升学习力、创新力的好素材。

由于三种曲线的性质证明可以进行适当的类比，因此在教学中可突出研究抛物线。本文重点探究了三个问题，即光学性质的证明、准线的形成、性质的应用。通过类比、从简单到复杂、从特殊到一般等数学方法，结合视频、多媒体、作图软件GGB等应用，激发学生兴趣、引发学生思考，从而形成思维、生成知识。

二、教材目标分析：

三、教学问题诊断分析

1.教学问题分析：

采用问卷调查的方式来了解学生对知识的掌握程度，问卷设计如下：

问卷调查

问题1：请根据光的平面镜反射性质，作出光线在反射点P处的反射光路图。

问题2：请类比光的平面镜反射性质，作出在光线在曲面点P处的反射光路图。

P问题3：已知函数y=2x3上一点A(1,2)，求在点A处的切线方程。

解：

问题4：通过查阅资料，你能否对抛物线的光学性质进行证明？

答：

问题5：焦点是光线汇聚的点，那么准线是什么呢？

问题6：你知道圆锥曲线在生活中的实际

应用吗？请举例说明。

答：

答：

P

问卷分析

2.教学策略分析：

为了突破这些重难点，教师应该提高学生的学习积极性，多设置思维引导点，注重前后知识的串联，用已有知识解决新问题，带领学生一起分析问题并解决问题，具体操作如下：

(1)性质的证明:

从圆心发出的光从焦点发出的光经

光学问题

:

光经平面镜反经圆反射的光路过抛物线反射的光性（简单到复杂）

射的光路图

图

路图

质的

数学

建模

证明

数学问题:

两直线 同位角（内错三角形两边平行

角）相等

相等

导数求切线

（逆推分析法）

必要性：1.教材只是单纯地研究圆锥曲线的知识，学生很难将所学知识与现实生活

联系在一起，因此有必要学习本课知识以激发学生的学习兴趣。

2.教材直接给出抛物线的轨迹定义，学生不清楚准线和焦点的内在规律和

必然联系，因此有必要通过本节课让学生清楚知识的来龙去脉。

(2)准线的形成：

由光的平面镜反射

性质，认识虚光源

抛物线的

一个虚光源

抛物线的

多个虚光源

所有虚光源形成的轨迹

认识准线与焦点的内在联系

从特殊到一般，从已知到未知

(3)性质的应用：

抛物线光学性质

的应用

椭圆光学性质的应用

双曲线光学性质的应用

四、教学支持条件分析

根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，利用视频、PPT课件、动态图片、作图软件 等动态演示，为学生的数学探究与数学思维提供支持。

五、教学过程分析

1.教学主线

Part 3

Part 4

Part 2

Part 1

书读百遍其义见，小球视频引思考

涓涓细流汇江河，光学性质见分晓

群策群力解疑难，性质准线及应用

总结方法提素养

口留余香再启智，

2.教学过程实录

2.1 书读百遍其义见

导入语：同学们，前几天老师给大家布置了任务，要求大家阅读并思考选修2-1课本P75的阅读材料《圆锥曲线的光学性质及其应用》，并且带给大家两个问题.第一个问题：通过阅读与思考，你得到了哪些信息和结论？第二个问题：在阅读过程中，你产生了哪些疑问？这节课我们一起来分享这些成果！首先为了检验大家对阅读材料是否有了一定的理解，老师请大家先观看一个视频，请大家在观看的过程中思考视频中的问题。（播放视频）

视频1：小球从高空自由落体到被遮挡物上，经反弹后汇聚到一个点. 问题1：被遮挡物的形状是什么？

师：A.圆弧

B.半椭圆

C.抛物线.被遮挡物是什么形状，才能起到视频中的效果，使得所有的小球都朝着一个点奔去？

学生活动1：积极回答视频中的问题，给出自己的选项。

【设计意图】利用一个科学实验视频激发学生的听课兴趣，不仅调动了学生思考的积极性，同时又紧扣主题。

2.2 涓涓细流汇江河

(1) 读有所得

问题2：能否对视频中的现象给出合理解释？

追问：通过阅读，你从材料中得到哪些信息和结论？能复述吗？

学生活动2：分享阅读与思考成果

师：通过阅读与思考，我们每位同学都自己的收获，相信大家对圆锥曲线的光学性质都有了一定的了解，我们一起来总结一下圆锥曲线的光学性质。(幻灯片展示圆锥曲线的光学性质) 【设计意图】充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式，让学生“动起来”，让课堂“活起来”。学生通过自己的表述，对圆锥曲线的光学性质有着更深刻的印象，也体会到阅读与思考的成就感。

(2)读有所疑

问题3：在阅读过程中，你产生了哪些疑问？

师：通过阅读材料，每个同学都产生了一些疑问，不过有些同学是一样，老师在课前将大家交上来的疑问进行了分类、整理，现在我们一起来分享一下！(幻灯片呈现疑问，老师板书疑问) 疑问1：从焦点发出的光都遵循吗？是否与入射角度有关？如何证明圆锥曲线的光学性质？

疑问2：课本中的准线有没有物理背景？准线是怎么形成的？准线与焦点有联系吗？

疑问3：除了课本提及的应用外，还有其他的应用吗？有没有高科技的应用？能不能把三种圆锥曲线组合应用？

【设计意图】学生在阅读过程中进行充分思考，在老师的引导下对问题分类总结，体会到阅读与思考的成就感，学会如何阅读与思考，也培养了发现问题、归纳问题的能力。

2.3 群策群力解疑难

要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样的光学实际问题，转化为数学问题，建立模型，进行解释论证。

探究一：性质的证明

师：由于三种圆锥曲线光学性质的证明有相似之处，所以我们重点证明抛物

线的光学性质，对于双曲线和椭圆的光学性质，希望同学们运用通过本节课所学知识课后类比论证。要想证明光学性质，首先需要弄清楚光线在反射点处的光路图是怎样的。

问题4：光经平面镜反射的光路图？

问题5：从圆心发出的光经圆反射的光路图？

问题6：从抛物线焦点发出的光经过抛物线反射的光路图？

【设计意图】设置“问题串”，层层深入，步步递进，从已有的知识结构出

发，通过将学生熟悉的光的平面镜反射性质作为切入点，再渐进到从圆心发出的光经圆反射的光路图，最后过渡到从抛物线焦点发出的光经抛物线反射的光路图，三个问题逐层递进，从简单到复杂，从特殊到一般，不让学生在思维上出现跳跃，也为进一步证明抛物线的光学性质做铺垫。

问题7：如何证明反射光线PT//EF，可以采用什么方法，转化为证明什么？

学生活动3：探究如何证明两条直线平行。

分析总结：可以利用坐标法，通过证明同位角或者内错角相等来证明PE//EF，即PT//EF3545PFEF求切线PE方程.

教师活动：板书推导过程。

设P(x0,y0)(y00),则|PF|x0

p.2

切线PE的斜率为：kp,2x0p(xx0),2x0切线PE的方程为：y2px0令y0,则xx0.|EF|x0p|PF|.2【设计意图】师生共同解疑难，突出重点，突破难点，让学生体验数学问题探究的过程，激发学生的求知欲和好奇心，培养培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识，同时培养学生归纳类比和演绎推理两大数学素养。

探究二：准线的形成

师：下面我们一起来解决第二个问题，准线是什么？它与焦点有什么内在联系？为此，我们先看一个光学性质。

问题8：光源S发出的光线经过平面镜C反射后，反射光线经过点T，请在平面镜C上确定反射点Q. 生：作S关于平面镜C的对称点S，连接TS，与平面镜的交点就是Q。

师：这是光的平面镜反射性质，其中S在光学中被称为虚光源，反射光线相当于是由虚光源S直接射出的。

师：现在我们再来看抛物线，作光源F关于反射面PA对称的虚光源F，则PFPF。当点P在抛物线不同位置时，虚光源F的也会相应的改变，请大家观察并推断，当点P取遍抛物线上的所有点时，对应虚光源F的轨迹构成什么图形？

学生活动4：先独立思考问题，然后小组讨论交流，小组代表举手发言．

（生：可能回答是直线）

教师活动：先在幻灯片播放动态图片，让学生观察多个虚光源的对应位置，然后再利用作图软件GGB

为学生进行动态验证。

归纳总结：当点P在抛物线上移动时，虚光源F的轨迹确实是一条直线。所有平行于对称轴的反射光都可以看做从这条直线上直接射出，这条直线称为抛物线的准线。由此我们可以得到，抛物线是平面上到一条直线和一个定点（不在直线上）的距离相等的点的轨迹。

【设计意图】该部分内容是圆锥曲线光学性质的进一步拓展，帮助学生理解准线与焦点的内在联系，多媒体技术的引入演示，让学生更加直观感受到准线的形成过程，从而加深对抛物线概念的理解，也培养了学生直观想象和数据分析的数学素养。

探究三：性质的应用

(1)抛物线的光学性质

教师活动：引导学生再次认识抛物线的光学性质，介绍其在生活中的应用。

师：这台目前世界上最大的射电望远镜会以怎样的方式探测来自宇宙深处的奥秘，请大家观看视频！

视频2：小球落在抛物面上，让大家真实体会抛物线强大的汇聚作用。

(2)椭圆的光学性质

【知识拓展】当固定椭圆的一个焦点,而将椭圆的另一个焦点趋于无穷远时，椭圆就转变为抛物线，或者可以说抛物线就是“另一个焦点”在无穷远的“椭圆”，因此抛物线保持了椭圆的光学特征，即“另一个焦点”发出的光(此时光线平行于抛物线的对称轴)经反射后会聚于焦点F1上，这就是抛物线光学性质的由来。

因此对于短距离的信号传送，由于信号的发射点就是椭圆的另一个焦点，故采用旋转椭圆面；而对于远距离的信号传送，则选择利用旋转抛物面来接受信号。

(3)双曲线的光学性质

【设计意图】师生共同探究圆锥曲线的光学性质在生活中的应用，让学生感受到数学来源于生活又应用于生活的重要性，提高学生学习数学的兴趣。

2.4 口留余香再启智

（1）总结升华，提高素养

知识方面：圆锥曲线的光学性质；准线的物理背景；光学性质的广泛应用。

方法方面：由特殊到一般；由简单到复杂；坐标法解决几何问题。

数学素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析

（2）探索发现，思考创造

问题1 请尝试类比证明椭圆和双曲线的光学性质。

问题2 如果不是从圆锥曲线的焦点发出的光，经圆锥曲线反射后会怎样？

问题3 你能发现生活中更多圆锥曲线光学性质的利用吗？

问题4 你能将圆锥曲线的光学性质进行组合，设计一些作品吗？

【设计意图】让课内知识延伸到课外，激发学生课下继续探究的学习兴趣，通过这样的方式促进学生可以获取更多的与本节课相关的知识，拓宽知识面，培养学生善于思考、善于联系生活发现问题的习惯，让学生在轻松愉悦的状态下结

束课程。

六、板书设计：

圆锥曲线的光学性质及其应用

一、读有所得：

光学性质、焦点、旋转抛物面…、简单应用

二、读有所疑：

1.所有光都遵循？入射角？如何证明？

2.准线与焦点的联系？

3.其他应用？高科技？

抛物线光学性质的推导过程

设P(x0,y0),则|PF|x0kPEp,2x0p(xx0),2x0p.2PE：y2px0令y0,则xx0.|EF|x0p|PF|.2七、教学反思：

本节课教学效果总体还不错，但是还有不尽如人意的地方，教完之后有很多想法，总结如下：

（1）课前：本节课前我只是给学生布置了课本阅读任务，进行了问卷调查，却没有引导学生更有目的地查阅资料，获取知识。下次再上这节课前，我会设置更多问题情境，引导学生积极主动地查阅资料，了解更多圆锥曲线的知识，培养学生阅读与思考的能力。

（2）课上：由于课堂时间限制，在探究准线的形成时，只是让学生猜测推断，再通过作图软件给学生验证，并没有引导学生进行严格的数学证明。我想下次再上这节课时，将给学生更多时间，让他们更充分地利用所学的数学知识来解决几何问题，真正实现学有所用。

（3）课后：上完课后，我没有更多地关注学生对该节课的掌握程度，可能有学生对本节课的内容一知半解；也没有带领学生对本节课后留的思考创新题进一步探究，因此下次再上这节课，我会加强对学生的课后跟踪，也要提高自己的专业水平，引导学生进一步思考创新。