习题2.4公开课教案

《到两定点连线斜率之积为定值的轨迹探究》教学设计

刘苏娟

（浙江义乌 义乌中学 322000）

一.教材分析

本节内容是高三复习圆锥曲线后一节拓展性的课，从内容上来看，一方面它是“直线”和“圆锥曲线”内容的延续，与前面复习的直线斜率、轨迹方程等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步解决学考、高考中有关内容作准备. 就知识的应用价值上来看，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法，如从特殊到一般的观察、归纳、猜想等在各种公式、定理的推导过程中有着广泛的应用. 就内容的人文价值上来看，到两定点连线斜率之积为定值的轨迹探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．

本节课重在研究到两定点连线斜率之积为定值的轨迹推导及简单应用，教学中注重定理的形成推导过程并充分揭示定理的结构特征和适用范围. 二．教学目标

依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：

1.知识与技能目标：理解到两定点连线斜率之积为定值的轨迹推导方法；掌握余弦定理并能运用定理解决一些简单问题．

2.过程与方法目标：通过定理的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会定理探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．

3.情感与态度目标：通过经历对定理的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．

三、教学重点和难点

重点：到两定点连线斜率之积为定值的轨迹推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过定理推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力. 突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→定理推导→定理运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度. 难点：到两定点连线斜率之积为定值的轨迹推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，到两定点连线斜率之积为定值的轨迹推导所需知识内容较多，学生有所遗忘. 突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平

和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 四、教学方法

利用ppt和几何画板等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式. 五．教学过程

（一）问题引入

例：设A、B的坐标分别为（-1，0），（1，0），直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积是-1，求点P的轨迹方程. 变式1：斜率之积是-2呢？

变式2：斜率之积是-3呢？

变式3：斜率之积是m呢？轨迹是圆？椭圆？

[设计意图]用层层递进的问题激发学生的求知欲，体会探究过程中从特殊到一般的思维方法. （二）探究发现

探究1：设A、B的坐标分别为（-1，0），（1，0），直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积是m，讨论点P的轨迹. 学生：先求P点轨迹方程mx2y2m，再对m讨论，如：1）m0;2）1m0;3）m1;

4）m0;5）m1;

1)m0yAOBPxA2)1m0yP3)m1yPOBxAOBx4)m0y5)m1PxAyPAOBOBx

思考1：曲线上任意一点到A、B的斜率之积是定值吗？

[设计意图] 从特殊到一般, 通过生生、师生间的探讨、合作，培养学生的洞察力．增强学生思维的严谨性. [题目原型1](选修2-1，第41页例3)设A,B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积是4，求点M的轨迹方程. 9[题目原型2](选修2-1，第55页探究)点A,B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM、BM相

交于点M,且它们的斜率之积是4，试求点M的轨迹方程.并由点M的轨迹方程判断9轨迹的形状.与2.2例3比较，你有什么发现？

[点击高考]（2011年湖北省20题）平面内与两定点A1(a,0),A2(a,0)(a0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线. （1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；

（2）当m1时，对应的曲线为C1:对给定的m(1,0)(0,)，对应的曲线为C2,设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N,使得F1NF2的面积S|m|a2.若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由. [设计意图]让学生意识到本节课的探究并不是空穴来风，它来源于书本，而且有成为高考题的潜力，从而重视本节课的探究成果.

思考2：m1时，让直线AB绕着圆心旋转，点P与A、B的斜率之积还是定值-1，其他曲线是否也有类似性质？

yPxAyPBxAOBO

探究2：设A、B的坐标分别为（-1，-1），（1，1），直线AP、BP相交于点P,且它们的斜率之积是m，讨论点P的轨迹. x2y2探究3:椭圆221上两点A、B关于原点对称，AP、BP交椭圆于点P,则AP、BP的斜ab率之积是否为定值？

y2x2变式1：椭圆221上两点A、B关于原点对称，AP、BP交椭圆于点P,则AP、BP的斜ab率之积是否为定值？

[设计意图] 由圆中弦定点动，斜率之积为定值，推广到椭圆是否有类似性质，用几何画板演示猜想，并用代数运算证明猜想是否正确；再用几何画板演示椭圆中弦动点定，斜率之积为定值，让学生证明？让学生大胆猜想弦动点动，是否斜率之积还是定值？能否证明？用所学知识，推导演绎结论的产生过程. 变式2：如果是双曲线是否有类似结论？

（三）定理应用

x2y2练习：A、B是22（1ab0)长轴顶点，椭圆上点M、N关于x轴对称，AM、BN斜ab率为k1,k2且k1k20，若|k1||k2|最小值为1，则离心率为__ ___. x2y21ab0)上关于原点对称，M是椭圆上任意一点，AM、BM斜拓展：A、B是22（ab率分别为k1,k2且k1k20，若|k1||k2|最小值为1，则离心率为__ ___. [设计意图]巩固到两定点连线斜率之积为定值的轨迹问题，并熟悉题目条件的结构特征. 六．板书设计

七．作业布置

继续完成以下探究：

探究4:探究1中的m是否有什么特别意义？

探究5：斜率之和、差、商为定值m，轨迹如何？

[题目原型]（选修2-1，第41页第4题）点A、B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？

[设计意图]用书中的练习，引导学生课后进一步探究斜率之和、差、商为定值的轨迹问题.

投影

到两定点连线斜率之积为定值的轨迹探究

一．轨迹方程

学生结果展示

八、教学设计说明

1．问题引入. 本着新课程的教学理念，考虑到高三学生的心理特点，让学生学生初步了解“高考题源于书本”，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲. 2．探究发现．

教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.

3．定理应用．

两道例题的设计，是为了通过公式的正用和变用进一步提高学生运用知识的能力；通过对题目条件变化，可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性. 4．作业布置．

追溯书本知识，了解现状，预见高考，渗透数学思想，展示数学方法，可以帮助学生弄清数学的概念、数学思想方法的发展过程，使学生对数学高考题的形成有整体的把握和了解.通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．有利于拓展学生的视野，提高学生的数学素养．

参考文献

[1]吴红琳。等比数列前n项和公式.豆丁网，2016年（9）.