3.1.4 空间向量的坐标表示教学设计一等奖

3.1.4

空间向量的坐标表示

教学目标：

1．能用坐标表示空间向量的坐标运算；

2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行．

教学重点：

根据向量的坐标判断两个空间向量平行．

教学难点：

空间向量的坐标运算．

教学方法：

新授课、启发式――引导发现、合作探究．

教学过程：

一、问题情境

在“平面解析几何初步”一章中，我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置．那么，

1．如何用坐标表示空间向量？

2．怎样进行空间向量的坐标运算？

二、学生活动

1．复***面向量的坐标表示，

2．类比思考得出空间向量的坐标表示．

三、建构数学

1．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)．

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，

特别地，i(1,0)，

1

j(0,1)，0(0,0)．

2．空间向量的坐标表示．

如图，在空间直角坐标系O- xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i ,

j , k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组（x，y，z

），使axiyj+zk.

有序实数组（x，y，z

）叫做向量a在空间直角坐标系O- xyz中的坐标，z记作：

a=(x,y,z )．

在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一点

A（x，y，z

），向量OA是确定的，

kiOja

A(x,y,z)yOAxiyjzk.

因此，向量OA坐标为OA(x,y,z )．

x当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a的坐标．

3．空间向量的坐标运算法则

（1）若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，

则ab(a1b1,a2b2,a3b3)，

zA(a1,a2,a3)kiOjB(b1,b2,b3)yab(a1b1,a2b2,a3b3)，

a(a1,a2,a3)(R)，

a//ba1b1,a2b2,a3b3(R). x（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB(x2x1,y2y1,z2z1)．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐

2

标减去起点的坐标．

四、数学运用

例1

已知a(1,3,8),b(3,10,4)，求ab,ab,3a．

解：ab(4,7,4)，

ab(2,13,12)，

3a(3,9,24)．

例2

已知空间四点A(2,3,1),B(2,5,3),C(10,0,10)和D(8,4,9)，求证：四边形ABCD是梯形．

解：ABOBOA(4,8,2)，

DC(2,4,1) AB2DC

所以AB//DC，ABDC，又AD与BC不共线，

所以四边形ABCD是梯形．

练习：

（1）课后练习1－6．

（2）已知A（1,0,0），B（0,10,0），C（0,0,2），点D满足DB∥AC，DC∥AB,求点D的坐标．

五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容：

1．用坐标表示空间向量的坐标运算；

2．用向量的坐标判断两个空间向量平行；

3．思想方法上，我们采用了类比的思想由平面向量的坐标表示得出空间向

量的坐标表示方法及性质；

4．空间向量要注重数形结合，注重培养我们的空间想象能力．

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