2.2.2 椭圆的几何性质名师教学实录

数学《椭圆的简单几何性质》教学设计

【教学目标】

1、学生会画具体的椭圆的图形，分析图形特征，从而归纳出椭圆的几何性质；

2、根据椭圆的标准方程，学生能用代数方法验证所得出的几何性质； 3、学生能用得出的几何性质解决有关椭圆的离心率、长轴、短轴等问题。

【教学实录】

1.1创设情境，激发兴趣

（用多媒体显示图片）

图1：

国家大剧院

图2：鸟巢

图3：神七运行轨道

教师：上节课我们学习了椭圆的定义、图形和标准方程。其实椭圆在我们生活中有着广泛的应用，比如建筑学（国家大剧院、鸟巢、神七运行轨道）、光学、运动学等，这节课我们来共同研究椭圆的性质。类比圆的几何特征来研究椭圆的几何性质。请大家拿出课前画好了椭圆的纸，你能发现椭圆有哪些性质吗？

众生：通过折纸，我发现椭圆是轴对称图形，好像也是中心对称图形。

教师：很好，还有其他新发现吗？

学生1：椭圆上的点在一个矩形里，而且两条对称轴与这个矩形还有四个交点。

教师：对，椭圆上的点在一定的范围内，而且还有四个特殊的点。刚才我们通过观察发现了椭圆的一些性质，那么下面我们进一步通过代数的方法进行验证。

1.2问题引动，探究新知

x2y2问题1、椭圆221(ab0)有哪些几何性质？请你根据方程用代数的方法证明你ab得出的结论。

（学生分组讨论、共同探究。教师巡视，不一会儿有学生举手。）

学生2：我们组对椭圆的对称性找到了证明方法。

教师：那你将自己的成果展示给大家看一下。

学生2：以x代x，以y代y发现方程不变，因此关于x轴、y轴和原点对称。（学生在黑板板书过程）。

教师：大家对这个过程有疑问吗？

众生：没有。

教师：图形的对称其实是由图形上每个点对称所形成的，因此，证明是我们只要从点的坐标入手即可，还有其他结论吗？

学生3：我们组会证明椭圆上点的坐标的取值范围。

根据方程x2a2y2b21(ab0)，可得yba2x2，这个式子要有意义，则aa2x20,即axa，同理可得byb。

教师：太出色了，这位同学用函数的思想解决了这个问题，只是应该有一点修改，yba2x2，这个尽管不是函数，但是，要使式a子有意义，则根式里面应该非负。

学生4：老师我有不同的方法，我根据椭圆的图形及标准方程求出椭圆与坐标轴的交点（最左、右、上、下的点）的坐标分别为A1(a,o),A2(a,0)，B1(0,b),B2(0,b)，其他点都在这四个点里面，因此可以得到坐标的范围axa，byb。

教师：这位同学非常棒，他们充分利用图形和方程，结合“数”和“形”两个方面同时考虑。这四个点便是椭圆的顶点。其中线段A1A2,B1B2分别叫做长轴和短轴。长轴是过椭圆的中心的直线与椭圆相交所得的最长的线段，短轴是过椭圆的中心的直线与椭圆相交所得的最短的线段（有兴趣的同学课后可以用函数的方法证明）。a,b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（这时，有一位同学举手。）

学生5：

x2a21y2b20，21,即byb

，同理可得axa

y2b教师：这位同学从方程出发，利用了平方数的非负性得出了范围，很好！

学生6：刚才的对称性还有其他的方法证明的，如图1，若点A在椭圆上，则点A关于x轴1AF2定长，根据椭圆定义可知点A也的对称点A也在椭圆上.因为AF1AF2AF在该椭圆上，即椭圆的图形关于x轴对称。同理关于y轴、原点的对称点也都在椭圆上，因此椭圆具有对称性. 教师：这位同学的解释非常清楚，紧扣定义，借助图形，让我们有一种耳目一新的感觉，其实，椭圆的顶点和范围问题也可以得到，如图2，在点运动的过程中,两条线段长度相等和两条线段共线时得几个特殊的位置，便得到了椭圆的顶点坐标以及范围.

y A y y F1

o F2 x A

F1

0 图2 F2

x o x 图1 图3

x2y2x2y21和1的简图，问题2、请大家用所得出的性质画出椭圆观察这两个椭圆，2516259你能发现什么？

学生7：如图3，两个椭圆的图形不一样，一个较圆，一个较扁。

教师：也就是说两个椭圆的扁平程度不一样，为什么会产生这样的差异呢？

学生8：从方程看b不一样！第一个椭圆中b16b9169，第二个椭圆中。，

a25a252525第一个椭圆较圆，第二个椭圆较扁。

学生9.：我觉得b的值也能刻画椭圆的扁平程度，当b越接近于a时，椭圆越圆；当b越接ac刻画，当c越接近a，则b越小，因此椭圆越扁；当ca近于0时，椭圆越扁。

学生10：c2a2b2,也可用越接近0，则b越接近于a，因此椭圆越圆。

教师：这位同学用化的情况。

cc的值来刻画椭圆的扁平程度，而且还解释了椭圆随的值的变化而变aabbc非常直观地刻画了椭圆的扁平程度，其实，从本质上与是一样的，如果aaac也能刻画椭圆的扁平程度。刻画椭圆扁平程度的量称为离心率，离b2cc，2aa我们仔细研究还会发现心率最早是为了描述太阳系中行星运行轨道的形状而引人的，又称偏心率。即指某一椭圆轨道与理想圆环的偏离程度。现在我们通常指椭圆焦点偏离中心的程度。即离心率e因此，我们统一用c的值来刻画椭圆的扁平程度。因为ac0，所以0e1。当e越接a近于1，椭圆越扁；e越接近于0,椭圆越圆。

通过我们大家共同努力，我们观察并证明了椭圆的几何性质，请大家完成下列表格：

标准方程

图

形

0 范围

对称轴

|x|≤

a , |y|≤

b

2a x轴长轴长y轴短轴长2bx2a2y2b21(ab0) y2a2x2b21(ab0)y y x

|x|≤

b , |y|≤

a

x轴短轴长2by轴长轴长2a0 x 顶点坐标

离心率

(a,0)(0,b) (b,0)(0,a)

c

，e越大，椭圆越

扁，e越小，椭圆越

圆。

0e1(e)a1.3 应用知识，解决问题

例1、求椭圆16x225y2400的长轴长和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. （学生口答，教师板书。）

x2y21。从方程可知解：椭圆方程可以化为标准形式2516a5,b4,c25163。

c3，a5两个焦点坐标分别是F1(3,0)和F2(3,0),四个顶点坐标分别为因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a10和2b8，离心率e

A1(5,0),A2(5,0),B1(0,4),B2(0,4). 例2、如图，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1c1a2c2；②a1c1a2c2；③c1a2a1c2；④c1c2。其中正确的式子的序号是

. a1a2答案：②③

分析：根据图象可知a1a2,c1c2，进而根据基本不等式的性质可知a1c1a2c2；进而判断①不正确；根据a1c1PF,a2c2PF可知a1c1a2c2,故②正确；因为椭圆轨道Ⅰ比椭圆轨道Ⅱ扁，所以e1e2，即c1c2，故④不正确．③正确；

a1a21.4 回顾反思，提炼方法

1、这节课你学到了哪些知识？会解决哪些问题？

学生：椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。会解决已知椭圆基本量求椭圆的标准方程；会根据椭圆的标准方程研究椭圆的性质。

2、你是通过什么途径研究椭圆的几何性质的？从中你有何启发？

师生共同总结：研究椭圆的性质，类似于研究函数的性质

（定义域、值域、奇偶性、单调性等）。本节课主要以曲线的方程为工具，利用代数方法研究曲线的性质，是解析几何研究曲线的常用方法，研究时可以用从特殊到一般的方法。