2.2.1 椭圆的标准方程教学实录与评析

教学设计:椭圆的定义及其标准方程（第一节课）

无锡市堰桥高级中学

郭桂霞

（一）教学目标

1、知识目标：

①

理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念

②

会推导椭圆的标准方程

③

能掌握a、b、c之间的关系，会由其中的两个求出第三个

④

能区分椭圆的两种类型的标准方程及其对应的图形

⑤

能根据a、b、c的值写出椭圆的标准方程 2、能力目标：

培养学生运用运动、变化的观点分析问题，解决问题的能力，使学生掌握通过建立适当坐标系，运用解析法解题的能力。

3、德育目标：

训练学生动手能力，通过小组交流活动，使学会与人合作，团结、协作别人的集体主义精神

（二）教学重点、难点

1、教学重点： ①

椭圆的定义

②

椭圆标准方程的形式与图形、焦点坐标的对应关系

③

根据条件求椭圆的标准方程

2、教学难点：

①

椭圆标准方程的推导

②

应用标准方程的形式与图形、焦点坐标对应关系解题

（三）教学过程

1、椭圆的定义：

（1）引入

问题：2005年是中国航天丰收的一年，“神州六号”成功进入太空，实现了中国人的千年飞天梦，请问：“神州六号”飞船绕什么运行？运动轨道是什么形状？（地球、椭圆）

在生活中你还见过椭圆形状的物体吗？让学生给出几个例子

（2）动手画椭圆

用一根绳，将其两端用图钉固定在纸板上，粉笔紧贴细绳，画出一个图形，椭圆，

（3）总结归纳

让学生注意观察椭圆形成的过程并小组讨论试着归纳椭圆的定义：椭圆是到两定点距离之和等于定长的点的轨迹（教学理念：从生动直观到抽象概括）

（4）探究发现

椭圆的定义的再认识，刚才的归纳是否精确，有没有其它限制条件呢？（这里不直接给出|F1F2|＜2a，目的是让学生亲身体会椭圆定义，让他们自己找出来，印象深刻）

学生两人一组，在下面画，绳长不变条件下，改变图钉的位置，画出的椭圆会怎么变化？钉固定时，绳长能小于两图钉距离吗？画出的图形是什y么？

B2M在老师的指示下，下面两人一组进行操作共同得出结论

|F1F2|＜2a

椭圆

F1A1O|F1F2|=2a

线段F1F2

B1F2A2x

|F1F2|＞2a

轨迹不存在

（5）

完善椭圆定义：

椭圆是到两定点F1、F2之和为常数（大于|F1F2|）的点的轨迹，F1、F2称

为焦点，|F1F2|称为焦距

2、椭圆的标准方程推导：

提问：如何求轨迹的方程？（回顾前面知识）

建系、设点、列式、化简

（1）怎样建系？让学生尝试，最后得出结论哪一种最简单: 对称法

（2）推导方程的难点：方程的化简（要抓住“怎样消去方程中的根式” M 这一关键问题）

这一过程由师生共同完成

(要求学生能推导到引入参数之前，少数学生在老师的点拨之下完成。在引进

参数时，为什么要设acb而不是设acb呢？)

（3）如果焦点在y轴上，则焦点为F1（0，c）、F2（0,c），这时只要将方程中x，y

互换就可得到它的方程（先出示图形，再给出方程）（这一过程的推导由学生在课后完成）

板书：椭圆的标准方程的推导过程。

椭圆的标准方程：

22222yF2xF1x2y2y2x2 221（ab0） 221（ab0）

abab3、椭圆的标准方程的再认识：

（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1。

（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。

（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。

（4）椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定。

（5）椭圆的标准方程是由两个参数a、b及焦点位置唯一确定，即只要知道两个参数a、b的值，就可以写出椭圆的标准方程。因此我们需要求椭圆的标准方程时，应该运用待定系数法（其步骤是：先设方程、再求参数、最后写出方程），其关键是求a、b的值。

3、例题：

例1、根据下列条件求椭圆的标准方程

（1）a=4,b=1，焦点在x轴上

（2）a=4,c=15，焦点在y轴上

选题目的：注意椭圆的标准方程的形式书写，熟练掌握椭圆两种形式的标准方程。

例2、平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程

选题目的：熟练运用椭圆定义解题

例题点评：

1、我们是把焦点建立在x轴上从而解决了问题，问可不可以把焦点建立在y轴上呢？

2、把焦点建立在x轴上或y轴上，这是问题的两种不同的解法，而不是两种情况，我们在解题时只需选择其中之一即可。

3、理解椭圆的定义，熟练地掌握椭圆方程的推导方法（尤其是建立坐标系的方法）是解决本题的关键。

4、合理地建立坐标系并充分利用椭圆的定义使本题的解法巧妙，计算简单。否则若设动点坐标再求轨迹方程时，则方法会比较复杂。

5、注意三个参数a、b、c应满足关系式：a2=b2+c2 （四）课堂练习

（1）求出下列椭圆中a、b、c的值，并说出焦点所在的坐标轴

x2y2y2x211

21

251610064选题目的：能由椭圆标准方程求出a、b、c，并熟练a、b、c的关系，以及如何判断焦点的位置

x2y21上一点P到一个焦点的距离为3，（2）已知椭圆则P到另一个焦点的距离是（

）

2516A 2 B 3 C 5 D 7 选题目的：能运用椭圆定义解题

x2y21的焦距为2，则m的值为（ ）

（3）椭圆m4A 5 B 3 C 3或5 D 6 选题目的：能灵活运用椭圆标准方程，会由m的范围讨论焦点的位置

（五）小结： 本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①

椭圆的定义中,

2a2c0

②

椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定

③

根据已知条件，求椭圆的方法：（1）定义法

（如例2） （2）代定系数法

（如例1）

定焦（确定焦点位置）→定形（确定方程形式）→定量（确定a、b）→写方程

（六）作业

1、P80：3、4（1）（3）

（七）板书设计

椭圆的定义及其标准方程（第一节课）

图形

椭圆定义：

椭圆标准方程：

例1：

例2：

课堂练习

小结：

作业：

自我反思

数学的一个非常显著的特点就是抽象，本节课如果用传统的教学方式进行教学，学生也能接受，也能达到“学会”的目的。但是这种教学方式遏止了学生个性的发展，学生的学习完全处于被动状态，在这种单调没有生机的课堂教学环境中学生很难产生兴趣，导致了学生一看数学就头疼。如何改变这种现状，如何使数学课更具魅力？下面就“椭圆及其标准方程”的教学体会谈几点看法。

1，要有明确的指导思想。在新课程教学理念的指导下，改变传统教学方式，优化教学过程，以数学内在美来影响、熏陶学生，让学生感受数学课的魅力是本节课的指导思想。在整个教学过程中，我力争贯穿着这一指导思想。首先从导入着手,选择学生熟知的和有现实意义的例子,借助图片形象直观地把椭圆展现在学生面前,让学生感受数学知识应用的广泛性,激发学生的学习兴趣。

2，精心组织实验。数学课上做实验对于学生来说是件很新奇的事，所以他们会积极主动、认真细致地去做实验，学生完全沉浸在自主学习的氛围中，再加上分组合作，取得了良好的效果。

3，运用探究学习。推导方程时，一方面努力引导学生自己建立适当的坐标系得出各种不同方案，分析利弊，确立最佳方案，促使学生主动思考、主动探究。整个过程融入了探究学习方式的几个主要特点，即主体性、开放性、实践性，体现了新课改以学生为主体的教学理念。另一方面从两个方面极力展示数学内在的美，即对称、和谐、简洁的美。这种美虽不华丽，但却赏心悦目。让学生感受这种美，也是现代教育思想注重学生情感教育的体现。