1.4.1 全称量词教案设计

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数学人教A版必修四

课题: 第一章 三角函数

1.1任意角和弧度制

1.1.1 任意角

主备人: 苏琪

初备时间：2016-11-03 一、教学目标

（一）

知识与技能

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化

（二）

教学重点、难点

重点：将0°～360°的角的概念推广到任意角. 难点：角的概念的推广；终边相同的角的表示. （三）

过程与方法

1.利用机械表创设问题情景，让学生在问题解决过程中感知任意角. 2.回顾初中角的概念及其范围. 3.例举生活中不在0°～360°的角的实例，并加以说明（如体操中有“转体720°即转体2周，转体1080°即转体3周”这些动作名称）

4.利用几何画板任意角课件演示角的形成（让学生体会刻画一个角，不仅要用旋转量，还要用旋转方向）

5.给出任意角的概念，结合几何画板课件，引导学生通过类比数的正负，定义角的正、负和零角的概念. 6.给出象限角的概念. 7.在直角坐标系中画出210°，-150°角的终边，从具体问题入手，了解终边相同的角的关系. 8.例题讲解

（四）

情感态度与价值观

1、让学生体会数学的探究一般方法——具体到一般；

2、让学生感受“类比”、“数形结合”、分类讨论等的数学思想；

4、学生在类比学习的过程中，感受数学的规律性，增强学习兴趣. 二、教学过程

（一）问题导入

如果手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？

（可将分针顺时针方向旋转

；可将分针逆时针方向旋转

）

（二）探究新知

1

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问题1：初中角的概念及其范围是什么？(定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角；定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角；角的范围[0°，360°]）

例举生活中范围在[0°，360°]之外的几个角。

如体操中有“转体720°即转体2周，转体1080°即转体3周”这些动作名称；两个齿轮旋转时，主动轮和被动轮的旋转方向是不一样的

问题2：将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？

有顺时针和逆时针两种旋转方向．

所以要刻画一个角，既要知道旋转量，又要知道旋转方向

问题3：对角的概念进行推广

规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，叫做零角，零角的始边与终边重合。这样角的概念就推广到了任意角，包括正角、负角、零角.

例举说明角的表示

如：角ɑ=210° 问题4：结合课件使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点处）可能落在什么位置？

终边可能落在坐标轴上或四个象限内．

问题5：给出象限角的概念并举例

使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如30°角、-120°角分别是第一象限角和第三象限角。如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何一个象限。

问题6：将角按照上述方法放在坐标系中，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？（结合课件）

如果-32°的终边是OB，那么328°，-392°……角的终边都是OB，并且与-32°角终边相同的这些角都可以表示为-32°角与k个周角的和，如

328°=-32°+360°（k=1） -392°=-32°-360°(k=-1)

设S{|32k365,kz}，则328°，-392°角都是S的元素，-32°角也是S的元素（k=0），因此，所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与-32°角终边相同。

问题7：根据自已的理解写出与角终边相同角构成的集合

所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合即任一与角终边相同的角，都可以表示成角S{|k360,kz}，与整数个周角的和。

（三）例题讲解

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例1——例3 教材P4 （四）检测评估

1.在下列说法中：

①0°～90°的角是第一象限角；

②第二象限角大于第一象限角；

③钝角都是第二象限角；

④小于90°的角都是锐角．

其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)．

答案

①②④

2.给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中真命题有(

)

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案

D

3.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.

答案

270°

4.如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(

) A．{α|k·360°＋30°<α

（1）．先在－360°～360°范围内确定区域角起止边界处角，再把端点处加上360°的整数倍即得．

（2）．区域角的表示问题，遵循先从特殊再到一般的规律写出，即先选择一个合适的角度为360°区间，写出落在阴影部分的角的集合，然后再在端点处加上周角的整数倍表示终边落在阴影区域内的角的集合．注意结果尽量表示为一个连续区间．

α5.若α是第二象限角，试确定2α、2、是第几象限角．

3

3

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解：(1)由题意得

90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，

①

∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)．

故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角．

α(2)由①得45°＋k·180°<2<90°＋k·180°(k∈Z)，

当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得

α45°＋n·360°<2<90°＋n·360°(n∈Z)，

α故2是第一象限角．

当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)得

α45°＋180°＋n·360°<2<90°＋180°＋n·360°(n∈Z)，

α即225°＋n·360°<2<270°＋n·360°(n∈Z)，

α故2为第三象限角．

α综上可知2为第一或第三象限角．

【方法二】

规律方法：

求已知α是第几象限的角，如何确定所在象限的角的常用方法：

4

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（1）分类讨论法，先根据α的范围用整数k把k分n种情况讨论；

的范围表示出来，再对（2）几何法：把各象限均先n等分，再从x轴的正方向的上方起，依次将各区域标上①、②、③、④，则α原来是第几象限对应的标号即为所在的区域。 【具体步骤】

①画出区域：将坐标系每个象限二等分，得8个区域．

②标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，如图所示，

的终边

③确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求．

(3)由α所在象限，确定所在象限:

①画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12个区域．

②标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，如图所示，

③确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求.

5

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三、课后作业

A组题： 1.与405°角终边相同的角是(

)

A．k·360°－45°，k∈Z

C．k·360°＋45°，k∈Z

答案

C

2.若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在(

)

A．第一或第三象限

C．第二或第四象限

答案

A

3.(2013·哈尔滨高一检测)在四个角－20°，－400°，－2 000°，600°中，第四象限的角的个数是________．

【答案】

2个

4.若角α的终边和函数y＝－x的图象重合，试写出角α的集合．

5.如图1－1－3所示．

B．第二或第三象限

D．第三或第四象限

B．k·180°－45°，k∈Z

D．k·180°＋45°，k∈Z

图1－1－3 (1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；

(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

αα6.已知α是第一象限角，求2α，2，3所在的象限．

【解】

∵α是第一象限角，

∴k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z. ①2k·360°＜2α＜2k·360°＋180°，k∈Z，

则2α是第一或第二象限角，或是终边在y轴的正半轴上的角．

6

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α②k·180°＜2＜k·180°＋45°，k∈Z. α当k为偶数时，2为第一象限角，

α当k为奇数时，2为第三象限角，

α∴2为第一或第三象限角．

α③k·120°＜3＜k·120°＋30°，k∈Z. αα当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜3＜n·360°＋30°，n∈Z，∴3是第一象限角；

αα当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜3＜n·360°＋150°，n∈Z，∴3是第二象限角；

αα当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜3＜n·360°＋270°，n∈Z，∴3是第三象限角；

α∴3为第一或第二或第三象限角．

7.若α是第三象限角，则180°－α是第几象限角？

【解】

∵α是第三象限角，

∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z，

－270°－k·360°＜－α＜－180°－k·360°，k∈Z，

－90°－k·360°＜180°－α＜－k·360°(k∈Z)．

∴180°－α是第四象限角．

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