信息技术应用 图形技术与函数性质教案范文

3.3.1函数的单调性与导数

1、教材分析

“函数单调性与导数”是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1－1第三章《导数及其应用》的内容。本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。

由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性。

[来源学科网]根据新课标要求和教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标：

2、教学目标

知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系。

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法。

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

对于函数单调性与导数，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。根据以上的分析和教学大纲的要求，我确定了本节课的重点和难点。

3．教学的重点和难点

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。

4、教学方法：

为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。

5、教学手段：

本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。

【教学过程】

一．回顾与思考

1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）

2、如果遇到函数：y=x3-3x判断单调性呢？还有其他方法吗？

二．新知探究 函数的单调性与导数之间的关系

1、【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢? 【思考】

如图（1），它表示跳水运动中高度h随[来源:学#科#网Z#X#X#K]时间t变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)h'(t)9.8t6.5的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

【引导】

随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？

【探究】通过观察图像，我们可以发现：

（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数．相应地，v(t)h'(t)0．

（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数．相应地，v(t)h'(t)0．

2、【思考】

导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？

【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系. 提出问题2：上例得出的结果是不是具有一般性？

【设计意图】

新课标强调，要“加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行思考。”所以，我在此处让学生借助几何直观理解函数的单调性与导数的关系，并用几何画板动态演示，有效促进了学生探索问题的本质。

3、追踪成果

深入探究

为突破本节课的难点,我通过继续举例,引导学生进一步探究：

探讨：函数的单调性与其导函数正负的关系，进一步引导学生经历从具体实例揭示数学本质的过程，鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径，使他们经历知识的形成过程。通过学案，展示学生的探究成果：

函数y=f(x) y=x

导函数yf(x)的正负

函数y=f(x)的单调性

x(,)时，f(x)____0

函数y=f(x)单调

x(,0)时，f(x)____0

函数y=f(x)单调

源:Zxxk.Com][来

yx2[来源:Zxxk.Com]

x(0,)时，f(x)____0

x(,0)时，f(x)____0

函数y=f(x)单调

函数y=f(x)单调

函数y=f(x)单调

函数y=f(x)单调

yx3

x(0,)时，f(x)____0

1

xyx(,0)时，f(x)____0

x(0,)时，f(x)____0

对所展示的学生成果予以及时的鼓励和肯定。

函数y=f(x)单调

【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？

【探究】如图，导数f'(x0)表示函数f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率．

在xx0处，f'(x0)0，切线是“ ”式的，这时，函数f(x)在x0附近单调 ；

在xx1处，f'(x0)0，切线是“ ”式的，这时，函数f(x)在x1附近单调 ．

【设计意图】

上述探究所得结论将是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻。而学生只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明不现实。因此，我采用由易到难，逐步过渡的教学策略，让学生进一步直观观察，并借助几何画板动态演示，分析问题的本质。

4、归纳结论

揭示本质

经历上述探究之后，将学生分成6小组，进行讨论交流，揭示函数的单调性与导数的本质关系，让小组派代表归纳结论。对回答问题的学生进行及时鼓励。在此基础上，我和学生共同完善结论，并板书结论：

函数的单调性与其导函数正负的关系：

在某个区间(a，b)内，

若f ' (x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数；

若f ' (x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数. 若f(x)0，则为

常数函数（与y轴平行）

强调正确理解“某个区间”的含义，它必须是在定义域内的某个区间。

考虑到本节课堂容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=x3在x=0处），这一问题将在第二课时探究。

三、例题讲解

例1．已知导函数f ' (x)的下列信息：

当3

当x<3或x>5时，f ' (x)>0；

当x=3或x=2时，f ' (x)=0.

试画出函数

f ( x )图象的大致形状. 【设计意图】

应用所学，使具体知识形成方法和技能。鼓励学生先自己动手，培养学生积极主动的学习态度.再通过教师示范，培养学生良好的作图习惯.对于学生在分析过程中出现的问题，及时指正. 本题是一道开放性的题目，学生的答案也许图象可能向“内”弯曲，可能向“外”弯曲，也可能是条直线. 举典例进行说明：左图是折线图，右图是平滑的曲线，追问：两种做法是否都行呢？

y y = f(x) y y = f(x) o 3 5 x

o 3 5 x

解决办法：

让学生回顾前面所学习，导数为零的点的附近图象应该几乎没有升降变化，而“折点”附近图象升降变化很大，让学生再次动手操作，得到正确图如上，右图. 例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

31fxx3x;

2

fxx22x3;3fxsinxx,x0,;【设计意图】

4fx2x33x224x1.求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点. 通过例1（1），引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤，并给学生示范；

通过例1（2），让学生在黑板解答，进一步规范解题步骤；

通过练习，回答本节刚开始提出的问题，解决学生的疑惑.体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性. 32练习：(1)f(x)x3x2 （2）f(x)xlnx

分析：（1）学生动手解题，得出单调区间； （2）学生分析求可导函数单调区间的一般步骤和方法：

①确定定义域；

②求f(x)、令f(x)0得实根；③间断点与根分区间；

④确定各开区间的符号，得出结论。

（3）提出可否直接解关于导函数的不等式，列出、解出。

四、课堂小结：

1、函数的单调性与导数的关系

2、求解函数yf(x)单调区间

五、作业布置：(课本)

P93 4，

P98 A组

1 六、板书设计

3.3.1函数的单调性与导数

一、

函数单调性与导数的关系

三、

二、

利用导数求单调性的步骤

多媒体

四、

例题讲解

例1：

例2：