3.1.3 导数的几何意义ppt配套的板书设计及意图

导数的几何意义

成都航天中学 万久国

一、教材分析：

1、地位和作用：

《导数的几何意义》是一节新知概念课，内容选自于选修1－1中第§3．1．3节，是在学生学***均变化率，瞬时变化率，及用瞬时变化率定义导数基础上，进一步从几何意义的基础上认识导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容。

《导数的几何意义》还是下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用，是本章的关键内容，也是高考中的一个常见考点。

2、教学目标的拟定：

【知识与技能】

（1）概括曲线的切线定义，明确导数的几何意义及应用；

（2）培养观察、分析、合作、归纳与应用（知识与思想方法）等方面的能力

【过程与方法】

（1）由问题引发认知冲突，引导学生经历割线“逼近”切线的过程，推广切线的定义；

（2）利用几何画板直观展示知识发生的过程，帮助学生寻找导数的几何意义；

【情感态度价值观】

（1）通过对切线定义的探究，培养学生严谨的科学态度；

（2）通过渗透无限“逼近”的思想，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系。

（3）利用“以直代曲”的近似替代的方法，培养学生分析问题解决问题的习惯，初步体会发现问题的乐趣

3、教学重点、难点

重点：导数的几何意义及应用

难点：对导数几何意义的推导过程

二、学情分析

1、从认知上看，学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率来刻画现实问题的过程，知道瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，但这些都是建立在“代数”的基础上的，学生也渴求寻找导数的另一种体现形式——图形。学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的与认识．

2、从能力上看，通过一年多的高中学习，学生积累了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力．

3、从学习心理上看，学生已经从“公共点个数”方面知道了圆锥曲线切线的含义，当然在思维方面，也形成了定势：“直线与曲线相切，直线与切线只有一个公共点”。在本节中，我们在概念上不是从公共点上定义切线，而是由割线的逼近来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上，以此激发学生的好奇心和思维的兴奋点。

三、教法：

1、采用“DJP学案”教学模式：运用了“探究+小组合作”的教学方法，将全班学生分为6小组，并分配给他们相应任务，让学生亲身经历“实验、探究、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的认知规律，增强学生的参与和责任意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教育的主体。

2、利用多媒体辅助教学：通过几何画板的动态演示，让学生直观感受无限“逼近”的思想方法，这能使学生更好的明确导数的几何意义，有利于难点的突破．

四．学法指导：

采用“学案”教学，让学生学会：

1、实验观察：利用几何画板的几何直观与数值计算功能，感知曲线的切线的定义和导数的几何意义；

2、反思探究：明确曲线的切线的逼近定义的科学性；

3、小组合作：激活学生的思维，经历用导数几何意义进行定性分析；

4、思想渗透：借助几何画板局部放大的直观性，学生直观体会“以直代曲”“无限逼近”的数学思想．

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五、教学过程

1、课前准备：明确各组任务：

第一组：完成复习回顾：导数fx0是如何定义的？求导数fx0的步骤是什么？

第二组：完成问题情境：通过反例，明确以前切线定义的局限性，感受寻找新定义的必要

第三组：完成实验探究（一）：通过实验观察，归纳切线的推广定义

第四组：完成实验探究（二）：寻找割线的斜率与切线的斜率k的关系,归纳导数的几何意义

第五组：完成知识应用：例1、通过解析式研究导数的几何意义

第六组：完成知识应用：例2、通过图象研究导数的几何意义

第七组：完成课堂总结：

各小组长汇报检查学案完成情况

2、教学流程： 复习回顾→创设情境→实验探究→认知升华→知识应用→总结归纳→课后思考

3、具体活动过程

进程

一

复习回顾，

引入课题

学案设计

1.导数fx0是如何定义的？

2.求导数fx0的步骤是什么？

那么，导数fx0的几何意义是什师生合作探究

【学生活动】展示学案中问题的答案。

【教师点评准备】

（1）

导数fx0的意义，在“数”的方面，表示函数fx在xx0处的瞬时变化设计意图

温故知新，提出问题，

诱发思考

开门见山的提点出本节的任务。

率；（2）数形结合思想的渗透；（3）提出么呢？——引出课题

本节任务——研究导数的几何意义

1．在下图中，过点A作出圆的切线，【学生活动】

回顾圆的切线定义。

1．动手作出切线；

二

2.第二组讲解作图依据——“圆的切线”

的定义；

A 创

3.第二组另一人讲解判断题的解答，判断设

依据；l1不是切线,l2是切线

问2．判断下图中直线l，l与曲线C4、第二组另一人讲解：“直线与曲线相切”12题

的位置关系？

是“直线与切线只有一个公共点”的

既情

不充分又不必要

条件

y B境

A 【教师点评准备】

，

x ①研究直线与曲线位置关系的一般方法

引

——分析公共点的个数（方程思想）；

发

l1

②切线的传统定义及其适用范围及局限D l

2认

性；

知

3．“直线与曲线相切”是“直线与切③概括结论：直线与曲线有唯一公共点不冲

线只有一个公共点”的

条件？

符合一般曲线的切线的定义。因此必须突

从另外的角度来探究切线的定义

4、那么，对于一般的曲线，曲线切线如何寻找？

1、曲线的切线的定义: 【学生活动】

（见教材77图3.1.2），①全体观察实验, 交流割线PP三

①演示实验：n的变化当点P（n1,2,3,4）趋势。

n(xn,f(xn))

1、由活动打破学生思维的局限；形成认知冲突,让学生感受进一步学习的重点要性

2、利用认知迁移规律,从学生的“最近发展区”出发,引导学生利用已有的认知结构基础上进行新概念的建构。

实

沿着曲线fx趋近点Px0,fx01.借助几何画板,让学生参与切线的逼近发现②第三组归纳：曲线的切线的定义：

当PnP时，割线PPn（确定位置）

过程,初步第

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验

探

究

，

思

维

辨

析

时,割线PPn的变化趋势是什么？

演示过程：

(见几何画板)

②请归纳：一般曲线的切线定义：

③思考:与以前学过的切线的定义有何不同？

2. 导数f(x0)的几何意义

①观察图3.1.2,思考:割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系? PT,PT叫做曲线在点P处的切线． 【教师实验演示、点评准备】

①曲线的切线的定义方法；

②点明新旧切线定义的区别：

旧定义：直线与曲线有唯一公共点, 新定义：以割线“逼近”确定位置的直线定义为切线，新定义才真正的反映了切线的本质，适用于各种曲线， ③体会“无限逼近”数学思想。

2．【学生活动】

①第四组展示思考答案；

②讨论导数与切线斜率k关系；

③第四组另一人归纳:导数fx0的几何意义：

②回顾:曲线fx在切点x0,f(x0)

【教师点评准备】

处的导数值f(x0)如何计算？

①导数的几何意义中的关键词

由①②，能得出什么结论？

②对比归纳:导数fx0的代数意义：

③归纳:导数f(x0)的几何意义是什几何意义：

么？ ——点明已解决了课前提出的任务。

【教师实验演示】

1.（几何画板演示）引导学生观察

强调：“以直代曲”的数学思想方法是微

积分中重要的数学思想方法

2.放大点P的附近,让学生感受切线近似于曲线，得结论:在点P的附近，曲线f(x)上可以用过P的切线近似代替.

体会曲线的切线的无限逼近定义；

2.感知数学定义的严谨性和几何意义的直观性

3.利用几何画板可计算功能、导数的定义,学生发现导数几何意义、突破难点

4、从“数和形”两个角度强化学生对导数的理解，与课前的问题前后呼应

学生直观感知和体会

“以直代曲”的数学思想方法

3.继续观察图3.1.2,在点P附近,

n1,2,3,4）哪个与曲线更观

PPn(察

贴近?由此,你能发现什么规律? 发

现

，

思

维

升

注：用曲线上某点处的切线近似代替华

这一点附近的曲线，这是微积分中重要的数学思想方法——“以直代曲”思想方法．

典例分析，

学

题型一、通过解析式研究导数的几何意义

例1：求抛物线yx在点A(1,1)处的切线的斜率及切线方程．

2【学生活动】

①小组内讨论解题思路；

②第五组在讲台展示解答过程。

【教师点评准备】

①审题过程和讲解思路；

②用电脑展示规范的解题格式；

③题型的梳理。

1．初步体会导数的几何意义；

2．回顾定义法求某处的导数

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以

致

用

，

题型二、通过图象研究导数的几何意义

例2：观察跳水运动高度随时间变化的函数ht4.9t26.5t10的图像．根据图像，请描述比较曲线ht在t10.5s，t00.7s,t21s，t32s附近的变化情况．

思考下面内容：

（1）描述运动员距水面的高度与起跳时间的变化情况，各个时刻速度的变化情况是怎样的？

（2）函数的单调性与导函数正负有何关系，内在联系？ （3）曲线的陡峭程度（变化快慢）与切线的斜率和倾斜角的大小有何关系？

（4）与§3．1．2节中的例1有何区别？

【教师活动】

1．视频体会播放先放高台跳水视频，后用几何画板演情境，诱发示跳水运动高度随时间变化的函数图象；

兴趣；

2．利用几何画板，直观

和数量显示

高度，速度

随时间的关【学生活动】

系；

①观察图象，完成思考内容；

②第六组讲解思考（1）（2）；

③第六组另一人展示思考（3）；

3．由导数的④全班共同讨论思考（4）。

几何意义分析曲线的走【教师点评准备】

向；渗透“以①高度导数的物理是瞬时速度

直代曲”的②依据切线的斜率，如何研究函数单调性数学思想．

和曲线的陡峭程度

③数学结给的思想

对比教学,④学会新旧知识的联系与比较：

强化“数形是同一问题研究的两个角度，一个是从结合”的思“代数”角度，一个是“几何”（“图形”）想

角度进行

整 整理本节课的三个内容：

体 1．曲线的切线的定义：

把 握2．导数的几何意义：

总

结3．数学思想方法：．

提高

课

后

思

考

巩

固

新

知

必做题：教材第80页：5，6 思考题：

思考1：求过点B(3,5)，且与抛物线yx2相切的直线方程．

3思考2：x轴与yx是否相切，若是相切，你怎样解释呢？

思考3：（教材例3）根据图像，估计t0.2，0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）

【学生活动】

第七组回顾本节内容：

（1）知识性内容：①曲线的切线的定义

②导数的几何意义

（2）数学思想方法：“数形结合”、“以直代曲”、“无限逼近”的数学思想．

【教师点评准备】

针对学生总结情况，作适当的补充与更正,强调本节课的三个内容

教师：把思考1完成后与例1比较；

教师：用切线的逼近定义去解释思考2；

教师：思考3要用“以直代曲”的思想去解决．

1.梳理知识

2．突出重点

3.提高素养 1．辨析某点处的切线与经过某点的切线的区别; 2．明确逼近含义；

3．应用“以直代曲”的数学思想．

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附：板书设计

§1．1．3导数的几何意义 解：f1lim 1．曲线的切线的定义

f1xf1xx0 (1x)212 当PnP时，割线PPn（确定位置）PT， lim

x0x PT叫做曲线在点P处的切线．

(x)22x 2．函数f（x）在x=x0处的导数的几何意义 lim

x0x函数f（x）在x=x0处的导数是切线PT的斜率k． lim(x2)2

x0 即

klimx0f(x0x)f(x0)fx0 即切线的斜率k2，

x3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即 所以，yx2在点A(1,1)处的切线曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线． y12(x1)，即2xy10．

六、设计说明：

1、时间安排：新知引入约5分钟，新知探索约18分钟，

新知运用约15分钟，小结提高约2分钟。

2、设计思路：

我采用了DJP学案教学，运用“探究+小组合作”

模式，以“问题”为中心，以曲线的切线的逼近定义为切入点，借助几何画板的演示，揭示导数的几何意义，通过观察比较和数值计算来渗透“以直代曲”的数学思想．通过反思讨论，观察演示，实验操作，体会新知的形成过程．突出本节的重点，突破难点。

在整个教学过程中，学生以研究者的身份学习，通过自身的体验对知识的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握，到达解决问题的目的。

在整个过程中，教师始终扮演学生学习的协作者和指导者。围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅，采取及时点评、延时点评与学生自评三结合.

这就是我对这一课时的理解、涉及观点和方法，可能有不当之处，敬请各位专家批评与斧正，谢谢大家！

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