3.1.3 空间向量的数量积运算名师教学实录

3.1.3．空间向量的数量积（1）

一、教学目标：

1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

二、教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 三、教具准备：与教材内容相关的资料。

四、教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

五、教学过程

（一）复习：空间向量基本定理及其推论；

（二）新课讲解：

1.几个概念

（1）空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；

注意：1)范围：

0a,b，

2）a,bb,a；

3）若a,b，则称a与b互相垂直，记作：ab；

2如果a,b0，则a与b同向，如果a,b，则a与b反向。

（2）向量的模（长度）：

设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；

（3）向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作e

B

ab，即ab|a||b|cosa,b．

注意：

①两个向量的数量积是数量，而不是向量.

ABA

C

②零向量与任意向量的数量积等于零。

（4）正射影

已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明AB的长度|AB||AB|cosa,e|ae．|

2．空间向量数量积的性质： （1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）aaaaaa．

（4）cosa,b222ab。

|a||b|注意：①性质（2）是证明两向量垂直的依据；

②性质（3）是求向量的长度（模）的依据；

③性质（4）是求两个向量夹角的依据；

3．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

数量积不满足结合律：（ab）ca(bc)

几个重要结论：

2（）（1ab）ab2ab22(2)（ab（)ab）ab22222

2(3)（abc）abc2ab2bc2ca4.例题分析：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln

求证：l．

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

例2．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

证明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)

nglmnlmg

ABACBDACABABBD

AB(ACABBD)ABDC0．

（法二）选取一组基底，设ABa,ACb,ADc，

∵ABCD，∴a(cb)0，即acba，

同理：abbc，，

∴acbc，

∴c(ba)0，∴ADBC0，即ADBC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

2解：∵BCACAB，

∴OABCOAACOAAB

O

|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

84cos13586cos12024162

∴cosOA,BCA

B

C

OABC24162322，

855|OA||BC|322．

5所以，OA与BC的夹角的余弦值为说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC135易错写成OA,AC45，切记！

5．巩固练习：课本第99页练习第1、2、3题。

6．教学反思：空间向量数量积的概念和性质。

7．作业：课本第106页第3、4题

补充：

1．已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，

试求：（1）(ab)2；（2）(a2bc)2；（3）(3a2b)(b3c)．