3.1.2 空间向量的数乘运算教案和学案内容

§3.1.2空间向量的数乘运算

【学情分析】：

本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题

【教学目标】：

（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算

（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题

（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题

【教学重点】：

空间向量的数乘运算及运算律

【教学难点】：

用向量解决立几问题

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

设计意图

1、空间向量的数乘运算a，其模长是a的||倍

（1）当0时，a与a同向

（2）当0时，a与a反向

2、空间向量的数乘分配律和结合律

一．温（1）分配律：(ab)ab

故知新

（2）结合律：(a)()a

3、共线向量或平形向量

类似于平面向量共线，对空间任意两个向量a,b(b0)，a//b的充要条件是存在实数，使ab

1、方向向量

Pa如果l为经过已知二．新点A且平行于已B课讲授

知非零向量a的直lA线，对于任意一点OO，点P在直线l上

以数乘向量及其运算律为突破口，与平面向量进行比较学习，为下面引出共面向量作铺垫。

方向向量的引入是为了更好

的充要条件是存在实数t满足等式

的说明三点共线的向量充要OPOAta．其中向量a叫做直线l的方条件，作为特色班，可以根据实际情况补充证明过程。

向向量.

在l上取ABa，则上式可化为

OPOAtAB

证明：对于空间内任意一点O，A,B,P三

点共线

tR,使APtAB

OP-OAtAB

OPOAtAB

由此可见，可以利用向量之间的关

系判断空间任意三点共线，这与利用平

面向量判断平面内三点共线是一样的。

回顾平面向量的基本定理：

共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条

件是存在有序实数组(x,y)，使得

pxyb，这就是说，向量p可以由不回顾平面向量的基本定理可共线的两个向量a,b线性表示。

以发现，平面中的基底理论由此可以得到空间向量共面的证明方法

成了空间向量关系的一种特2、空间平面殊情况——共面的证明方PABC的向量Cp法，这正是由特殊到一般，b表示式

AaB由简单到复杂的一种推广，空间一点P位对今后理解空间向量的基底于平面ABC理论也是有一定辐射作用O内的充要条的。

件是存在有序实数对x，y使得：

APxAByAC，或对空间任意一点O有：OPOAxAByAC。

推论：已知空间任意一点O和不共线的本探究可以在老师的启发三点A，B，C，则点P与点A，B，C下，给学生自己证明，不同共面的充要条件是

层次可以酌情考虑是否证OPxOAyOBzOC(其中xyz1)

明。

证明：略

例1．一直平行四边形ABCD，过平面OB，OC，OD，三．典AC外一点O做射线OA，

例讲练

在四条射线上分别取点E，F，G，H，OEOFOGOHk，

且使OAOBOCOD

求证：E，F，G，H四点共面

分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面。下面我们利用AD，AB，AC共面来证明。

证明：因为以

OEkOA，OFkOB，OGkOC，OHkOD，由于四边形ABCD是平行四OEOFOGOHk，所OAOBOCOD边形，所以ACABAD，因此，EGOGOE

kOCkOAkACk(ABAD)

k(OBOAODOA)OFOEOHOE

EFEH

由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面

进一步：请学生思考如何证明：面AC//面EG 1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，巩固知识，注意向量运算律BD，E，F分别是BC， CD的使用. 3、略解：（1）的中点，化简下列各表并标出化简结果四．练达式，1EGEFFGEFBDEFEH

2习巩固

的向量。

（1）ABBCCD

（2）1111（2）AB(BDBC)

EGEBBFABBCAC

21（3）AF(ABAC)

22222、课本P89练习2-3 3、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方

得EF∥AC，AC平面EFGH，法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）则AC∥平面EFGH AC∥平面EFGH

1．空间向量的数乘运算

五．小2．空间向量的运算意义和运算律解决立归纳知识反思方法，特点。

结

几问题

3．平面的向量表达式解决共面问题

六．作业

（4），第2题

练习与测试：

课本P97习题3.1，A组

第1题（3）、

（基础题）

1．

已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：

（1）ABBCCD； AD

（2）AB(BDBC)； AG

（3）AG(ABAC)．MG

1212BMCGDA（中等题）

2、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、是（

）

A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量

3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CAa,CBb,CC1C,则A1B（

）

A．abc

B．abc

C．abc

D．abc