1.1.3 四种命题间的相互关系教案（名师）

1.1.3 四种命题、四种命题间的相互关系

问题导学

一、四种命题

活动与探究1 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：

(1)若x＞－2，则x＋3＞0；

(2)两条对角线相等的四边形是矩形．

迁移与应用

1．写出命题“如果一个数列中各项都相等，那么这个数列是等差数列”的逆命题、否命题和逆否命题，并说明它们的真假．

2．已知命题：“负数的平方是正数”，试写出其逆命题、否命题、逆否命题．

1．给出一个命题写它的另外三个命题时，应先将命题整理成“若p，则q”的形式，然后根据定义写出另外三个命题．

2．在写命题时，为了使句子更加通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．

二、四种命题之间的关系

活动与探究2 下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．其中的真命题是__________．

迁移与应用

1．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

②“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题；

③“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；

④“对顶角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是(

)．

A．0

B．1

C．2

D．3 2．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假．

在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．

答案：

课前·预习导学

【预习导引】

1．(1)结论

条件

原命题

逆命题

若q，则p

(2)条件的否定

结论的否定

否命题

若p，则q

(3)结论的否定

条件的否定

逆否命题

若q，则p

预习交流1：提示：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数．

逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数．

否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数．

逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数．

2．(2)逆否命题

没有关系

预习交流2：提示：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1．真命题．

否命题：若q＞1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根．真命题．

逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q＞1．真命题．

(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0．真命题．

否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0．真命题．

逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0．真命题．

(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．

否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．

逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．

课堂·合作探究

【问题导学】

活动与探究1：思路分析：首先分清命题的条件和结论，再按照定义写出逆命题、否命题、逆否命题；对于(2)，则应先将命题改写为“若p，则q”的形式．

解：(1)逆命题：若x＋3＞0，则x＞－2；

否命题：若x≤－2，则x＋3≤0；

逆否命题：若x＋3≤0，则x≤－2．

(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．所以：

逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；

否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；

逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．

迁移与应用：1．解：原命题是一个真命题．逆命题：如果一个数列是等差数列，那么这个数列中各项都相等．它是一个假命题．

否命题：如果一个数列中各项不都相等，那么这个数列不是等差数列．它是一个假命题．

逆否命题：如果一个数列不是等差数列，那么这个数列中各项不都相等．它是一个真命题．

2．解：原命题可以改写成：

若一个数是负数，则它的平方是正数．

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．

活动与探究2：思路分析：先正确地写出对应的命题，再进行判断，或根据互为逆否命题同真或同假进行判断．

①②③

解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；

③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；

④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．

所以真命题是①②③．

迁移与应用：1．B

解析：①否命题是“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”．真命题．

②原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．

③否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”．假命题．

④逆命题为“若两个角相等，则这两个角为对顶角”．假命题．

2．解：原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0．

逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题．

否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题．

逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题．

当堂检测

1．有下列四个命题，其中真命题是(

)．

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的否命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则AB”的逆否命题．

A．①②

B．②③

C．①③

D．③④

答案：C

2．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集不是”的逆命题、否命题、逆否命题中，对于真假性的判断正确的是(

)．

A．都真

B．都假

C．否命题真

D．逆否命题真

答案：D

解析：原命题是真命题，所以逆否命题一定也为真命题．

3．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

)．

A．1

B．2

C．3

D．4 答案：B

解析：原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．

4．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是(

)．

A．若a·b≠0，则a不垂直于b

B．若a⊥b，则a·b＝0 C．若a不垂直于b，则a·b≠0 D．若a·b≠0，则a⊥b

答案：C 5．给出以下命题：

①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

其中为真命题的是__________．

答案：①③

解析：①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．

②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”．假命题．

③∵Δ＝1＋4m，若m＞0，则Δ＞0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真命题．∴逆否命题也为真命题．