3.1直线的倾斜角与斜率（通用）名师教学设计1

直线的倾斜角与斜率

一、内容解析

本节是解析几何第一课时，解析几何的基本思想和方法在这一节中都得到适当的体现，教学内容有倾斜角、斜率的概念，还包含了坐标法、数形结合思想等。直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。

二、学习目标

知识与技能：

1.理解直线倾斜角的定义、范围和斜率；

2.掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3.能用公式和概念解决问题。

过程与方法：

将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为斜率问题（代

数问题），体会“数形结合”的思想方法。

情感态度价值观：1.学会观察、探索，培养数学语言的表达能力；

2.理解数形结合的思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度。

三、教学重点：

斜率的概念，用代数的方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。

四、教学难点：

直线的倾斜角与斜率的关系

五、教学方法：

主要采用自主学习、问题合作探究的教学方法，通过鼓励学生阅读课本，引导学生捕捉数学问题，让学生自主探索与合作交流相结合，使学生从懂到会再到悟，提高解决问题的能力。

六、教学过程设计

【知识背景】：

在平面几何里，我们是直接依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。另一种研究方法是用代数的方法来研究几何图形的性质。即借助直角坐标系，通过坐标的运算来研究图形的几何性质。

【新知探究】：

任务一：直线的倾斜角

问题导入：通过初中学习的锐角三角函数导入，从梯子的倾斜程度引入直线的倾斜程度的几何与代数表示；进而提问，我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一条直线的位置吗？

1.学生自主学习并思考

(1).过一点P可以作无数条直线,这些直线区别在哪里？

(2).从几何的角度观察，能否用一个几何量表示直线与X轴的相对倾斜程度？

(3).你能给出倾斜角定义吗？当直线l与x轴平行或重合时，

倾斜角为多少？

(4).动手标出以下直线的倾斜角，你能得到倾斜角的取值范围是多少？

y o lp x y p o x ly o p x y p o x ll2.倾斜角定义及范围：

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图1所示。当直线与x轴平行或重合时，O y l α

x 我们规定它的倾斜角为0。

因此直线的倾斜角α的取值范围为0≤α<180．

3.思考：(1).是否平面内每一条直线都有一个确定的倾斜角？

(2).每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线吗？

平面内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不等。因此，直线的倾斜角表示平面内一条直线的倾斜程度。确定直线位置的的几何要素：直线上一点以及他的倾斜角，二者缺一不可。

图1 

任务二

直线的斜率 （一）斜率概念的形成

问题导入： 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？（学生思考，引入到生活中的坡度）

1.思考：

(1).生活中的坡度指的是?

(2).迁移到数学中，坡角与坡度分别代表什么？

(3).当坡角为90

时，坡度是否存在？

从而得到斜率的定义：

一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线

的斜率（slope）.通常用小写字母k表示，即ktan

2.思考：(1).是否所有的直线都有斜率？

(2).钝角的斜率如何计算？

(3).直线的斜率能否反映直线的倾斜程度？

倾斜角α是90的直线没有斜率；倾斜角α不是90的直线都有斜率；

（180—）—tan

当α为锐角时，tan

倾斜角不同，直线的斜率也不同。斜率大于0的直线的倾斜角为锐角；斜率小于0的直线的

倾斜角为钝角。

（二）直线斜率的坐标计算法

在前边已经谈到，解析几何的基本方法就是坐标法，因此我们如何利用倾斜角和斜率对直线进行进一步的代数化的研究必须建立斜率的坐标表示方法。

1.提出问题：已知直线l上两点P（其中x1x2）的坐标，如何求出直线P1P2

1(x1,y1),P2(x2,y2)

的斜率k？

学生独立思考后小组合作讨论,首先依据直线的倾斜角是锐角还是钝角进行分类。如图4所示，分类求解。学生小组讨论后完成图（1）和图（2）的展示

y P1

α

α

O y θ

O P1

θ

P2

Q

x P2

Q

α

x (1) (2)

O

y P2α

α

P1

Q

x P1

Q

O y θ

P2

θ

α

x (3) (4) 1P2的方向向上时，当为锐角时，QPP12,x1x2,y1y2.

解：若直线P12中，在RTQPPktantanQPP12|QP2|y2y1|PQ|x2x1

10180(QPP12),x1x2,y1y2.

当为钝角时，12中，在RTQPPktantan(1800)tanQPP12|QP2|yyyy2121|PQ|x1x2x2x1

1k2.综上所述，我们得到经过两点的直线的斜率公式是：

y2y1x2x1。

3.思考：(1).与所取的点的坐标是否有有关，与所取点的先后顺序是否有关？

(2).当直线经过点（4，2）和点（4，1）上述斜率公式还适用吗？直线经过点（1，2）和点（5，2）呢？你能总结出上述公式的适用范围是什么？

4.归纳总结：

(1).当x1x2

时,公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角90时

，直线与x轴垂直

(2).当

y1y2

时，斜率k=0，直线的倾斜角

0，直线与x轴平行或重合

(3).k与

P1,P2的顺序无关，即

y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可

以同时交换，但分子与分

母不能交换

(4).斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得

(5).求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到

任务三

应用巩固

类型一:概念判断

例1：

判断下列命题是否正确，为什么？

（1）任一直线都有倾斜角和斜率;

（2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

（3）两直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等； （4）两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；

类型二:斜率的计算

例2：

如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

B O C y

A x

变式练习（根据课堂生成问题调整）

1.已知A(3,2),B(-4,1)，若点C(x ,3)在直线AB上，求实数x的值. 2.已知点A(1,2),B(3,5),C(x,6），若直线BC的倾斜角

45 ,求实数x的值

【我的收获】：

通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些困难？可以从知识，方法，数学思想，经验等方面谈谈。

知识方面：倾斜角的定义，斜率的定义和利用坐标求斜率的公式及其适用范围；

方法：坐标法；

数学思想：数形结合，分类讨论，化归等数学思想；

【课后作业】：

必做题： 课本86页 A组第2,3,4题 选做题：

课本90页 B组第5题

直线的倾斜角与斜率

教学设计

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