3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计(第二课时)

第一节直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．

2．斜率公式

πα≠，则斜率k＝tan_α. (1)定义式：直线l的倾斜角为α2(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝3．直线方程的五种形式

名称

点斜式

斜截式

两点式

方程

y－y0＝k(x－x0)

y＝kx＋b y－y1x－x1＝

y2－y1x2－x1xya＋b＝1

Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 适用范围

不含垂直于x轴的直线

不含垂直于x轴的直线

不含直线x＝x1(x1≠x2) 和直线y＝y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

平面内所有直线都适用

y2－y1. x2－x1截距式

一般式

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(

) (2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(

) (3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．(

) (4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(

) (5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

2．若直线x＝2的倾斜角为α，则α为(

) A．0

π

B.

4

πC.

2答案：C

D．不存在

3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(

) A．1 C．1或3 解析：选A

由k＝

B．4

D．1或4 4－m＝1，得m＝1. m＋24．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．

31，－，且直线BC边上的中线过点A，则BC解析：由已知，得BC的中点坐标为223111x－，边上中线的斜率k＝－，故BC边上的中线所在直线方程为y＋＝－即x＋13y132132＋5＝0. 答案：x＋13y＋5＝0 5．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________. kkkk解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24. 4343答案：－24

考点一

直线的倾斜角与斜率

基础送分型考点——自主练透

[考什么·怎么考]

直线的倾斜角与斜率是解析几何的基础知识，高考中极少单独考查.

1．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(

) A．[0，π)

π0，

C.4

π3π0，∪，π

B.44ππ0，∪，π

D.42解析：选B

因为直线xsin α＋y＋2＝0的斜率k＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜π3π0，∪，π. 角的取值范围是442．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．

5－3a－3解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，6－45－4即a＝4.

答案：4 3．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．

3解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝，kPA21＝－2，kl＝－. m结合图象知，若直线l与PQ有交点，

113应满足－≤－2或－≥. mm212解得0

23当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．

21－，. ∴实数m的取值范围为3221－，

答案：32[怎样快解·准解] 1．掌握直线倾斜角与斜率问题的3种类型

(1)在已知斜率表达式的情况下，研究倾斜角的范围，应首先求出斜率的取值范围，然后借助正切函数的图象求解．(如第1题) (2)解决三点共线问题，若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．(如第2题) (3)在解决与含参数的直线有关的直线相交问题时，首先要考虑该直线是否过定点．(如第3题，发现直线过定点(0，－1)是解决问题的关键一步) 2．避免2类失误

(1)考虑直线的斜率不存在的情况．(如第2题) (2)由直线的斜率k求倾斜角α的范围时，要对应正切函数的图象来确定，要注意图象的不连续性．(如第1题) 3．记牢倾斜角α与斜率k的关系

πππ0，且由0增大到α≠时，k的值由0增大到＋∞. 当α∈222πππ，π时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由α≠增大到π(α≠π)当α∈222时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．